Molto bene, allora. Proviamo a fare una descrizione discreta dell’Elio. Ma intanto mi pare di capire che le cose si complicano, e che gli atomi di Elio non sono abitanti normali del paesino. E che le nostre descrizioni sono probabilistiche a più livelli, è così?

Mi andrebbe di parlare ancora un po’ del continuo, questo mistero misterioso. Ma a te al liceo non hanno menzionato una volta una cosa assolutamente incomprensibile che si chiamava ‘postulato di continuità della retta’? Una bizzarria da fuori di testa, sembrava. E infatti, io l’ho capita solo molto dopo.

A me il continuo evoca la marmellata, non quella con tutti i toccotti di frutta dentro (che tra l’altro molto preferisco), ma quella gelatinosa che sembra appunto completamente omogenea. Omogenea. Continuo deriva da cum-tineo, che si tiene assieme, una pappa nella quale non si può distinguere nessuna spaccatura, nessun confine, dato un punto non si può dire qual è il punto che viene subito dopo, perché appena ne dici uno, ce n’è un’altro più vicino ancora, eccetera.

Adesso uno può dire che lo sappiamo ormai da un secolo (per non parlare di Democrito e seguaci) che la materia ha una struttura atomica, è fatta di piccoli puntini di materia e di enormi vuoti tra essi, e quindi niente intuizioni marmellatose; ma l’intuizione che tutti quanti abbiamo si forma nei primi anni di vita su esperienze elementari e, siccome la nostra vista non è sensibile agli atomi, di fronte e una bella superficie, tipo di vetro o di ossidiana, o tipo la setosa superficie di una tazza di tè verde ben ossigenato, vediamo una bel ché compatto e omogeneo, senza buchi. E pertanto pretenderemmo che così veramente fosse, veramente, anche nel piccolo, e comunque ci formiamo l’idea del continuo, del senza buchi, neanche piccoli piccoli.

La matematica è arrivata bel bello a saziare questa sete di continuità e, nell’ultimo quarto dell’Ottocento, ha offerto (è stato soprattutto Richard Dedekind, 1872, v. ad es. http://en.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind) una maniera di dire che cos’è il continuo, dopodiché ha proposto di dichiarare (ecco qui il summenzionato ‘postulato di continuità della retta’) che la retta è, appunto continua, cioè ha la stessa struttura di quella che la matematica aveva inventato per far posto, nell’insieme dei numeri, a tutti i numeri, anche quelli che non sappiamo bene cosa siano.

Ad esempio, il simbolo che tradizionalmente indica la radice quadrata di due [radice di due non è rappresentabile nel testo del blog, me ne scuso. Dario Voltolini]: simbolo e parole che vogliono dire cosa, esattamente? Nessun numero decimale finito, e neanche periodico, elevato al quadrato fa esattamente 2. I matematici la hanno fatta esistere (e come la radice di due una quantità di altri innumerevoli numeri decimali non periodici) con la forza bruta, cioè con una decisione della ragione, con un atto creativo. E questo fa parte naturalmente dell’esigenza di non lasciare buchi nell’insieme dei numeri. L’orrore del buco, dell’interruzione, come l’orrore del vuoto.

Insomma, il problema è che per dire dove sta un atomo del nostro gas, devo dire le sue coordinate, e, fino a convenzione contraria, ho a disposizione una spaventosa infinità di numeri per rappresentare le sue coordinate. Quant’è la sua coordinata (mettiamo la sua distanza dalla parete A)? E’ forse cm 5,25 oppure 5,255 , o 5,2552340994 , o quale altro numero è? Di misurarla con infinita precisione, ovviamente non c’è neanche da pensarlo vagamente, ma se ritengo che, almeno in linea di principio, essa sia un numero reale ben fissato, allora ce ne sono infinitamente tanti tanti, perché di numeri reali ce ne sono realmente tanti tanti. E questo ci crea dei guai per il nostro modo di costruirci un’idea di entropia, come avevamo fatto per il paesino.

Allora caviamo il coniglio dal cappello e dividiamo — ma idealmente, s’intende — la nostra scatola rigida dove è contenuto il gas in tante cellette, cioè in tanti cubettini, magari tanti, se sono piccoli, ma in numero finito; dividiamo lo spazio continuo occupato dal gas in tanti loculi. E questo è un passo di discretizzazione.

Che dici? Naturalmente è solo un’operazione del pensiero, mica mettiamo nel gas le cellette di plastica.

L’aristogas discretizzato, almeno un po’, per ora.

[9 – continua alla parte 10]

Caro Antonio, rieccomi a tediarti con le mie richieste. Intanto ti dico che ho preparato un tè verde dello Yunnan che si presenta in una simpatica scatola cilindrica di cartone verde. Il contenuto è avvolto in una carta molto croccante, ed è una specie di nido fatto di foglie pressate. Molto piacevole. L’ho comprato in un negozio di fronte alla sinagoga, in piazzetta Primo Levi, qui a Torino.

Veniamo alle nostre molecole di gas. Magari puoi scegliere dal sistema periodico un elemento per gli esempi, così citiamo Levi una seconda volta!

Dicevi della temperatura, della velocità, della media e della direzione.

Ricominciamo? Vai!

Dario

Ma prendiamo l’elio, He, Helios, il Sole (che ne contiene quintalate), che è il secondo elemento della tabella periodica, e che è nobile e non si mischia con altri elementi, sta bene per conto suo, ha, intorno al proprio nucleo, fatto di due protoni e due neutroni strettamente impacchettati insieme, due elettroni, quelli che ci vogliono nel primo livello, o strato energetico, e due devono restare, non vogliono acquistarne altri, né vogliono abbandonare il proprio nucleo.

E poi l’elio è monoatomico, e sarebbe che l’elio gassoso è fatto di molecole costituite in realtà ognuna di un solo atomo, così che, se fosse solo per l’elio, non avrebbe senso distinguere tra atomo e molecola (invece, per dire, l’idrogeno è biatomico, gli atomi vanno a spasso in pacchetti di due, cioè a coppie, e ogni coppia si chiama molecola di idrogeno). E poi l’elio è praticamente sempre un gas, per poterlo liquefare bisogna maltrattarlo molto, sottoporlo a pressioni molto forti, e anche, guarda caso, è l’unico elemento che non solidifica mai, mai e poi mai, neanche a temperature vicinissime allo zero assoluto, e a pressioni spaventose. Insomma, è proprio un gas e ubbidisce molto all’equazione dei gas perfetti. Il che non è poco. Le sue molecole vanno in giro per il recipiente nel quale sono contenute liberamente e senza urtarsi a vicenda, o comunque è molto improbabile…

Questa è pura ambientazione. Alla prossima.

Antonio

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[6 – continua alla parte 7]

Aspetta un attimo prima di compierlo. Non credo di aver capito bene la questione della probabilità. Mi stai dicendo che c’è una contraddizione nella descrizione degli stati macroscopici come equiprobabili? Puoi spiegarmi meglio? Sono Simplicio, qui dentro!

Un’altra cosa marginale sulla probabilità. Se io dico che la probabilità che il lancio del dado dia 1, o 2, o 3, o 4, o 5, o 6 è la stessa, cioè 1/6 (dico bene?) dico una cosa vera (la proposizione che enuncio è vera) oppure dico una cosa che non so se sia vera o no? Nel secondo caso quello che io dico sarebbe una pseudoproposizione. Ma nel primo caso la sua verità sarebbe piena e completa, come quella di ogni altra proposizione vera (Frege diceva che la verità non sopporta un più o un meno). Sollevo questo dubbio semantico perché mi interessa capire che tipo di oggetto linguistico sia un’asserzione probabilistica. O meglio: può essere figlia dell’ignoranza una proposizione certa? Se sì, grazie a quale magia?

Premessa sulla probabilità:
l’interpretazione e la giustificazione delle asserzioni probabilistiche sono quanto mai controverse ed esistono varie epistemologie al proposito. Io ti dico la mia, cioè come me la racconto io.

Quando lanciamo un dado e diciamo che vi è una probabilità 1/6 di trovare ciascuno dei sei risultati possibili, dobbiamo riflettere sul perché diciamo così e perché non riusciamo invece a prevedere chiaramente quale sarà il risultato. Non sarà mica il dado un sistema diverso dagli altri sistemi meccanici, che gode cioè di questo privilegio, o forse di questo svantaggio, che non si riesca a prevedere esattamente il risultato di una manovra su di esso?

La scienza della meccanica insegna infatti – senza dubbi – che, se si conoscessero con estrema precisione le condizioni iniziali del dado, cioè esattamente con che forza io gli do la spinta iniziale e la sua esatta posizione quando viene mollato dalla mia mano, sarebbe possibile prevedere esattamente il suo urto con la superficie del tavolo e la sua posizione finale e quindi il risultato; e così è naturalmente; ma il punto è che noi, a meno di disporre e di utilizzare strumenti di misura delicatissimi e molto sofisticati, non conosciamo tutto ciò quando lanciamo normalmente un dado, e non abbiamo alcun modo semplice di conoscere il risultato; inoltre – e questo è un fatto meno facilmente intuibile – le sue condizioni iniziali sono fatte in modo che basta modificarle anche di molto poco per variare il risultato finale. Ecco qui dunque la connessione con l’ignoranza: il nostro asserto probabilistico è provocato dalla nostra ignoranza dei dettagli del fenomeno e in più, quell’altro “fatto meno facilmente intuibile” produce la conseguenza che su numeri molto alti di lanci circa 1/6 producono 1, circa 1/6 producono 2, eccetera. Ma attenzione, circa.

Quella dunque che tu chiami la verità piena e completa delle affermazioni probabilistiche è un po’ diversa da quella di altre affermazioni della scienza. Dire che la probabilità di ottenere il risultato 4 (ad esempio) è 1/6 significa dire che, se eseguo un numero alto di lanci, il rapporto tra il numero di lanci che danno il risultato 4 e il numero totale di lanci è vicino a 1/6, non che è esattamente 1/6, ma che, più lanci si fanno e più il rapporto di quei due numeri si avvicina a 1/6. L’esattezza dell’affermazione probabilistica migliora (con buona pace, mi rendo conto, di Frege) quando il numero di eventi che si considerano cresce. Implica anche che, se effettuo un miliardo di lanci e ottengo il numero 4 metà delle volte, questo fatto in sé non smentisce la teoria della probabilità; l’importante è che, andando avanti a lanciarlo molti altri miliardi di volte, il numero di volte in cui si ottiene 4 sia complessivamente un sesto del totale delle volte.

Questo è, grosso modo, lo status (che neppure io trovo perfettamente soddisfacente, ma questo abbiamo) delle affermazioni probabilistiche.

Fine premessa probabilistica.

Riprendo solo per poco il filo dell’ultima puntata. Gli stati MICROscopici hanno tutti la stessa probabilità, questo per nostro decreto, perché cioè non sappiamo se ci sia qualche motivo per cui la natura preferisca l’uno o l’altro.

Gli stati MACROscopici a questo punto non possono avere tutti la stessa probabilità, perché ci sono stati MACROsc. cui corrispondono pochi stati MICROsc. e altri stati MACROsc. cui corrispondono migliaia, ma anche molti ma molti di più stati MICROsc.

Morale: ci sono stati MACROsc. (che sono quelli che noi vediamo) che sono molto, ma molto, ma molto molto, più probabili di altri.

Vediamo se Simplicio ha digerito questo bel boccone.

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[2 – continua alla parte 3]