E allora dimmi, cosa fa il nostro Aristogas nelle cellette? Si comporta discretamente, o fa il pazzariello?

Ebbene sì, siamo noi che lo pensiamo comportarsi discretamente. Il pazzariello sarebbero forse quelle che i fisici chiamano “le fluttuazioni statistiche”, cioe’ i comportamenti fuori norma, quello che non riusciamo a spiegare altrimenti, sempre perche’ ignoriamo la meccanica dettagliata, abbiamo — ti ricordi — lo sguardo bovino — ma generale — d’insieme, che non vede i particolari.
Facciamo un iperstringatissimo riassuntino per punti, e nel frattempo cerchiamo di tirare le fila di questa storia.

a. Il paesino con gli abitanti un po’ in strada con le fiaccole e un po’ dentro casa con tutto spento è un sistema che si può descrivere molto semplicemente, cioe’ con parametri discreti, fiaccola accesa – fiaccola spenta, e dunque descrizione nostra uguale numero totale di fiaccole accese. Ogni numero di fiaccole accese (che e’ cio’ che noi – lontani – possiamo osservare) puo’ essere realizzato in tanti modi, più sono questi modi piu’ alta e’ l’entropia del sistema paesino. Se il paesino ha cento abitanti, niente fiaccole accese o cento fiaccole accese sono stati con minima probabilita’ (si possono realizzare ciascuno in un solo modo, rispettivamente tutti gli abitanti dentro casa, tutti gli abitanti fuori), entropia bassissima; stato con cinquanta fiaccole accese massima entropia (si puo’ realizzare in un numero altissimo di modi), e’ lo stato piu’ probabile.

b. L’entropia poi si calcola con la formuletta del logaritmo del numero dei microstati corrispondenti al dato macrostato, ma la formuletta non e’ quel che ci interessa di piu’. E’ importante capire la faccenda dei microstati.

c. La stanza del ragazzetto (o ragazzetta? Ma e’ vero che sono piu’ ordinate?) molto disordinata ha alta entropia, perche’ il disordine si puo’ ottenere in tantissimi diversi modi, quella ordinata ha entropia bassissima perche’ l’ordine si ottiene in un solo modo: ogni cosa al suo posto. Attenzione che questo esempio ci porta gia’ piu’ vicini alla situazione del gas, perche’ la posizione del paio di calze sporche buttate per terra non si descrive “facilmente” come fiaccola accesa – fiaccola spenta, ma occorre quantificare la posizione delle calze, ecc.

d. Per il nostro aristogas e’ la stessa menata: la posizione e la velocità di ogni sua molecola dovrebbero essere descritte con certi numeri reali che possono (dal punto di vista della descrizione matematica) essere infiniti; allora noi, in un modo che a tutti gli effetti fisici e’ assolutamente equivalente, discretizziamo le possibili posizioni e velocita’ delle molecole del gas, come fossero le posizioni del paio di calze sporche sul pavimento, e ci autorizziamo dunque a dire che la posizione di ogni molecola di gas puo’ essere caratterizzata non da un parametro che che puo’ assumere solo due valori (fiaccola accesa, fiaccola spenta) ma da due parametri (posizione e velocita’) che possono assumere non due valori ma comunque un numero finito di valori (tutti i valori discreti che dichiariamo possibili, perche’ appartenenti alle cellette, di posizione e velocita’ della molecola).
Allora la maggior complicazione che si produce passando dal paesino al gas e’ ‘solo’ una complicazione di conti, di numero di parametri, non una complicazione concettuale. E allora il gas anche lui e’ sostanzialmente come il paesino, avra’ degli stati che potranno essere realizzati in pochissimi modi (macrostati cui corrispondono pochissimi microstati) e degli stati che potranno essere realizzati in una quantita’ spaventevole di modi (macrostati che potranno essere realizzati in fantastilioni di microstati); questi ultimi sono ovviamente quelli con alta entropia e quindi quelli che si realizzano piu’ volentieri.

Esempio: il nostro cubotto di elio viene riscaldato in una sua parte, e quindi per qualche istante si ha dell’elio che in una piccola regione del suo volume ha una temperatura piu’ alta che nel resto dell’elio: la situazione evolve rapidamente: tutto l’elio si porta alla stessa temperatura (ovviamente intermedia tra le due, quella prima del riscaldamento e quella della piccola porzione riscaldata), che e’ uno stato con entropia piu’ alta di quella con temperature diverse: per una data massa di gas lo stato con massima entropia (naturalmente a parita’ di energia complessiva) e’ quello con temperatura omogenea, uguale dappertutto, ma proprio dappertutto.

Naturalmente dimostrare rigorosamente che e’ cosi’, cioe’ che lo stato con massima entropia e’ quello con temperatura uguale dappertutto non e’ facile e non si puo’ fare senza fornule, ma credo che l’esempio del paesino o della stanza possa aiutare, se ve lo fate girare nella testa per conto vostro con calma e davanti ad una buona tazza di te’, verde.

E quindi, in conclusione, cosa ne è, cose ne possiamo fare, del concetto di Entropia? In qwuale modo ci aiuta, in quale ci porta fuori strada?

E dunque questa e’ la storia dell’entropia. Ci aiuta, mi chiedi tu, ma, dico io, e’, come altri, uno strumento concettuale per ricomprendere dei pezzi di realta’ nella nostra testa, per classificarli, per metterne in luce delle caratteristiche cui prima non avevamo pensato, per vederli sotto un’altra luce. E questo secondo me aiuta molto: avere piu’ modi per guardare alla stessa cosa non v’e’ dubbio che aiuta a capirla meglio, e qui si va nella storia della relativita’, che per l’appunto e’ un’altra storia.

C’e’ stato un momento, negli ultimi decenni dell’Ottocento, quando si era appena capita questa storia dell’entropia e delle temperatura omogenea eccetera, in cui molti hanno pensato la prima ovvia conseguenza: l’universo intero e’ un sistema fisico, esso dunque evolve verso lo stato di massima entropia, dunque verso lo stato in cui la temperatura e’ uguale dappertutto, aiuto! E’ la grande morte termica dell’universo, tutta una pappa alla stessa temperatura, niente piu’ stelle calde e ghiacci di Plutone, tutto un magma uguale dappertutto, non c’e’ piu’ spazio per niente di niente. Perfino i giornali dell’epoca hanno diffuso qualche pessimismo. Orrori di una fuorviante divulgazione. Nessuna applicazione cosi’ immediata di alcuna teoria fisica e’ lecita, sia perche’ applicare vuol dire fare dei calcoli seri, anche dei tempi di una simile evoluzione verso la ‘morte termica’ , tempi che risultano di una inimmaginabile lunghezza — per dire il nostro vecchio Sole morira’ molto prima — sia perche’ questa e’ uno strumento di comprensione della realta’, ovvero una teoria fisica storicamente determinata e soggetta a evoluzione e cambiamenti che per definizione non potevano essere immaginati al momento del suo sorgere; infatti poi e’ arrivato Prigogine, la termodinamica di non equilibrio e tutta un’altra bella compagnia, ovvero un’altra storia ancora.

Tanto per rispondere anche al ‘ci porta fuori strada’.

Brunella mi chiede Se la probabilità è soggettiva, quando pensiamo di misurare le cose, non misuriamo il metro (appunto l’entropia)? L’unico modo nel quale riesco a superare una certa oscurità e’ quello di scorgere una domanda davvero sottile, a cui non c’e’ risposta se non che “da qualche parte bisogna pur cominciare per indagare la realta’ che ci circonda in modo quantitativo”. Si comincia a prendere un oggetto e si dice questo e’ il metro, e dopo si ata a vedere se quella sia stata una felice scelta, e se non lo e’ stata si cambia, ma gia’ con qualche idea in piu’. Cosi’ si va avanti. Verso tante storie.

Ora che, passati gli anni, ho smesso d’arrovellarmi sulla catena d’infamie e fatalita’ che ha provocato la mia detenzione una cosa ho compreso: che l’unico modo di sfuggire alla condizione di prigioniero e’ capire come e’ fatta la prigione.

(Italo Calvino, Il Conte di Montecristo)

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10 – Fine

Altolà, c’è troppa carne al fuoco! Da una parte c’è il nostro aristogas Elio che se ne sta per conto proprio, dall’altra c’è un paesino che è valso come esempio, con tutte le fiaccole eccetera, e adesso c’è anche una caterva di numeri per lo più inutili. Come rosoliamo questo bello spiedone?

Troppa carne fa venire tutti i mali morbi, per cui asteniamocene.

Stiamo un po’ con i numeri, che sono stati un’invenzione umana forse delle più ardite e temibili. C’è un detto di un illustre matematico dell’Ottocento, prussiano puro sangue, Leopold Kronecker, (chi vuol divagare un po’ veda il sito: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Quotations/Kronecker.html ) che affermò che Dio diede all’uomo i numeri naturali (1, 2, 3, 4, …) e che l’uomo inventò poi tutto il resto. E’ che l’uomo volle riempire i buchi grandi come case che stavano in mezzo ai numeri naturali, e a furia di riempirli mise in mezzo tanti di quegli altri numeri da esagerare.

E soprattutto, così facendo, passò dal discreto al continuo.

Adesso qui non possiamo aprire tutta la sceneggiata del discreto e del continuo; ma ognuno può avere una percezione del fatto che se guarda un segmento disegnato su un pezzo di carta e ci disegna su delle tacche equidistanti dicendo che quelli sono i numeri 1, 2, 3, 4 ecc. allora ha costruito una successione discreta, e che se invece guarda tutti i punti del suo segmento, allora non ci vede alcuna soluzione di continuità e gli sembra una marmellata senza interruzioni, insomma un continuo. Tutto il problema che vogliamo affrontare qui è quello di ripianare la differenza tra il paesino e il gas, e il nucleo di questa differenza è proprio quello del discreto e del continuo perché: nella nostra storia del paesino, lo stato di ogni abitante è presto descritto: ci sono solo due possibilità per noi interessanti, o è in casa o è fuori casa (e allora con la fiaccola accesa, per farsi notare dall’osservatore lontano).

Lo stato dell’abitante del paesino è descritto da una variabile che può assumere solo due valori, i cui valori possono essere scelti a nostro arbitrio, ad esempio: 0 se sta in casa e 1 se sta fuori casa. Più discreto di così si muore.

Mentre per descrivere lo stato di un atomo del nostro nobile elio sembra che ci vogliano delle variabili che possano assumere non due ma un’infinità di valori; queste variabili cosa sono? Cosa devo dire per descrivere la situazione di un atomo di elio? Devo dire dove sta e che velocità ha, e queste informazioni sono dette indicando dei valori numerici delle sue coordinate e delle componenti della sua velocità. E questi valori, a priori, possono spaziare in un insieme di numeri infinito, non solo due valori, come nel caso dell’abitante del paesino. Per fare il parallelo bene con il paesino, dobbiamo discretizzare l’elio. Pardon, la nostra descrizione dell’elio. Ma non ci vuol molto.

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[8 – continua alla parte 9]

Dunque questo gas che è proprio così tanto gas, così immodificabilmente gas, è l’eroe di questo racconto, ora. Mi piace, Elio. Come si comporta Elio?

Elio è proprio simpatico, anche se sommamente aristocratico, un’altra sua stranezza è che, a temperature molto basse, lui è superfluido. Basse molto, naturalmente. Lo zero assoluto, madonna che aggettivo, sta a -273,15 centigradi; e non si può raggiungere mai, per ragioni sempre connesse con la termodinamica, ma non allarghiamoci troppo qui e adesso. Le temperature a partire dallo zero assoluto si misurano in gradi Kelvin (William Thomson, cattolicissimo scienziato irlandese di Belfast, creato dalla regina Vittoria lord Kelvin, first Baron of Largs nel 1866; Kelvin è il nome del fiumicello che scorre attraverso i prati dell’Università di Glasgow e Largs è il nome della città sulla costa scozzese dove costruì poi la sua casa.), così che quando dico che l’elio diventa liquido a 5,22 °K, ovvero gradi Kelvin, ciò equivale a -267.93 °C ovvero centigradi. Comunque freddino. Il tè, ancorché verde, sarebbe un blocco impresentabile e imbevibile.

Quindi diventa liquido sotto i 5,22 °K. Questa fase liquida la chiamiamo He I. Ma se si abbassa ancora la temperatura, a circa 2,17 °K passa a un’altra fase, sempre liquida, che però chiameremo He II. In questa fase lui è appunto superfluido: cioè non ha più alcuna viscosità, nessuna più, assolutamente, passa attraverso i pori di una membrana senza sforzo alcuno, nessun corpo incontrerebbe alcuna resistenza a muoversi entro di lui. Eccetera.

Comportamento bizzarro, e infatti si spiega solo con la teoria quantistica, che bizzarra indubbiamente è. E poi non è vero che l’elio non può mai diventare solido, a dirla tutta: è vero a pressioni normali, ma se, sotto i due gradi Kelvin, si aumenta la pressione fino a 25 Atmosfere, diventa anche solido. Ma questo ci porta fuori dal nostro terreno e quindi teniamo tutto ciò solo come ambiente.

Ma c’è un’altro raccontino che occorre fare per avvicinarci alla nostra meta, o comunque a una possibile meta.

I numeri. I cosiddetti numeri reali sono troppi, sono ridondanti per gli scopi della fisica. Prendi il numero pi greco, il tre e quattordici di tutte le nostre scuole medie. Qual è il suo valore esatto? Che domanda da mille punti. Sarà
3,14 , oppure 3,141592, oppure 3,1415926535897932 o che altro? Se pensiamo di misurare la lunghezza di una circonferenza e dividerla per la lunghezza del suo diametro, che numero troviamo? Se siamo molto bravi, troviamo 3,141, se siamo superbravi troviamo 3,14159, se usiamo tutte le più sofisticate moderne tecnologie, laser e quant’altro, mettiamo di trovare un altro paio di cifre decimali, ma ci si ferma molto presto su questa strada. Mentre teoricamente possiamo calcolare tante cifre quante vogliamo del celebre pi greco. Tutte le cifre da un certo punto in poi sono praticamente incontrollabili. I numeri reali, con infinite cifre decimali, sono stati inventati per gli scopi della matematica e non hanno, ne potranno mai avere, un immediato riscontro misurativo. Ma la matematica è venuta bene così, e così è stata per molti versi assai utile nella fisica.

Questo ha a che fare con le differenze tra il paesino e un gas, ad esempio l’elio.

[7 – continua alla parte 8]

Siamo così giunti al termine in questione: entropia.

Grazie alle fiaccole possiamo avere un’idea più visiva e meno astratta della questione. Non posso fare altro che domandarti, a questo punto e per mera funzione retorica: che cosa è l’entropia?

Quando si arriva a un punto così, si scopre in verità di arrivare a una grande tautologia. Di tautologie è costellata la scienza e c’è chi dice ovviamente che la matematica è una grande tautologia; il che in un certo senso è vero, ma bisogna sapere quale tautologia dire perché sia utile. Forse.

Per dare definizioni ostensive di entropia, bisogna esibire molti esempi.

La nostra tautologia suona più o meno così: si verifica più spesso lo stato più probabile, dove naturalmente probabile significa che ha più probabilità di verificarsi. L’entropia è una misura di questa probabilità. Un sistema è più spesso nello stato con alta entropia, per forza, perché si trova più spesso nello stato più probabile. Viene un po’ da ridere.

Niente delusione, l’entropia è una nuova categoria, dunque un grimaldello per capire delle altre cose.

Perché i sistemi evolvono nel tempo, si modificano: se nel nostro paesino interveniamo dall’esterno e chiediamo a tutti gli abitanti di chiudersi in casa nello stesso momento, otteniamo uno stato di entropia minima; è uno stato molto particolare, cui corrisponde solo un microstato, pertanto ha probabilità 1 (nel senso abusato del termine di cui si diceva), la più bassa possibile.

Adesso cessiamo il nostro intervento esterno e lasciamo gli abitanti fare tutto quello che loro pare, con la loro totale assenza di regole: molto rapidamente succederà che — in qualsiasi momento — molti abitanti saranno fuori e molti dentro e non accadrà mai più, o molto difficilmente, che tutti si trovino in casa nello stesso istante, cioè che si ri-produca lo stato di partenza che abbiamo artificialmente creato. O per lo meno, per 100 abitanti potrebbe ancora accadere aspettando abbastanza tempo, ma quando il numero di abitanti diventa grande come sappiamo che diventa quando il nostro ragionamento viene applicato ai gas, quella probabilità è così spaventosamente piccola che non ci si può più realisticamente attendere che si realizzi, se non forse aspettando un tempo così lungo da superare di molti ordini di grandezza l’età dell’universo.

Abitanti tutti in casa, ordine.

Abitanti un po’ fuori un po’ in casa, disordine.

Almeno per come queste parole possono venire usate; attenzione ai molteplici inganni del linguaggio.

I sistemi tendono verso il disordine, solo perché è più probabile: quando tu vedi la stanza di tuo figlio dopo dieci giorni (basta meno, ma esageriamo) che nessun adulto ci mette mano trovi tutto in giro e dici che c’è tanto disordine; quando invece ogni cosa è al suo posto, dici che è in ordine. E infatti: la stanza può essere in ordine in un solo modo, un solo microstato corrisponde all’ordine, entropia bassissima, mentre il disordine corrisponde a una quantità di microstati possibili: le cose possono stare fuori posto in chissà quanti modi diversi.

Dunque è assai più probabile, in assenza di interventi esterni, che stiano in disordine, alta entropia.

Questa della stanza non è male, eh?

Adesso è sabato pomeriggio, andiamo a bere un buon tè (o si scrive the, o thé, o senza accenti, la lingua è una struttura ordinata perbacco, o no?). Dimmi una parola buona al riguardo.

La parola buona è questa: in italiano io direi “tè”. Apprezzo questa pausa. Ti ricordi? La nostra prima chiacchierata l’abbiamo fatta bevendo un tè verde. Ora, uno potrebbe pensare che i tipi di tè sono tantissimi, uno di questi è il tè verde. Così sarebbe spiegato come mai se ordini semplicemente un tè non te lo postano mai verde, o quasissimo mai. Ma a parziale contestazione di questo assunto ti segnalo un libriccino interessante: Hu Hsiang-Fan, Marion Zerbst, Il tè verde, Tecniche nuove. Vi si dice che esistono più di 130 tipi di tè verde.

Buon pomeriggio.

E’ evidente che la pausa fa bene alla digestione. Grazie della parola buona e della buona applicazione della statistica ai tè. Penso che guarderò senz’altro il libriccino sui tè verdi. Finora credo di aver capito solo che il tè verde (e dicendo così non si distingue tra 130 tipi esistenti naturalmente) non ha subito un certo trattamento e che fa bene a qualcosa di interessante, forse il cuore.

Faccio solo un passettino termodinamico, per non perdere l’aire: quando guardiamo la temperatura di un gas racchiuso in una scatola, in realtà noi osserviamo l’energia cinetica media delle sue molecole, la temperatura è il nome esterno, fenomenologico, rozzo, che diamo a questa energia cinetica, cioè al fatto che le molecole si muovano molto velocemente o no, visto che tale energia dipende da v al quadrato, dove v è il valore della velocità. Ma ogni molecola si può muovere in chissamai quante direzioni, sempre con la stessa velocità e tutti i fantastiliardi di molecole del gas pensa tu in quanti diversi modi possono avere la stessa velocità media, e quindi la stessa temperatura.

Mi fermo qui, è solo per dare un’idea di qualche aggancio del paesino con un gas.

Buona notte.

———

[5 – continua alla parte 6]

Oops! Ho cannato l’esempio della fiaccola. Non sto qui a dirti cosa volevo realmente dire. Accetto la tirata d’orecchi con piacere e la prossima volta starò più attento a spiegarmi. Per ora passiamo senz’altro alla cosa sui dadi, che mi è chiara e che è simile a quella che volevo dire io. Per cui riprendiamo dal dado. Ho capito. Ho digerito anche il paesello. La parola chiave, “raggruppare”, è tutta centrata sull’osservatore e non sulla cosa osservata. Siamo noi che raggruppiamo, e siamo sempre noi che leggiamo la realtà una volta raggruppata: tra l’altro, a questo punto è difficile non trovare conferme, non è così?

Adesso mi pare che andiamo bene, è proprio così, la parola chiave raggruppare è tutta centrata sull’osservatore e non sull’oggetto osservato.

Bisogna pensare che, quando il numero di abitanti del paesello aumenta da cento (caso nel quale, come s’è visto qualche puntata fa, per dire in quanti modi si poteva realizzare lo stato con cinquanta abitanti fuori di casa, occorreva un numero con una trentina di cifre) a molti miliardi di miliardi, o comunque a numeri paragonabili al numero di molecole di gas contenute in un qualsiasi normale recipiente macroscopico, il numero di modi in cui si potrebbe realizzare lo stato con una metà circa di abitanti fuori aumenta in un modo spaventoso, tanto che diventa dell’ordine non di 1 con una trentina di zeri, ma di 1 con un numero di zeri dell’ordine di 1 con una trentina di zeri, comunque grande un casino.

In somma di tutto abbiamo questo:

ad ogni stato MACROscopico può essere associato un numero, eventualmente molto grande, che è il numero di stati MICROsc. che corrispondono a quello stato macroscopico, cioè il numero di modi in cui può essere ottenuto, eccetera, come s’è visto. Questo numero, chiamiamolo P , che può essere associato ad ogni stato MACROscopico, è proporzionale alla probabilità di quello stato.
Perché proporzionale? Pensiamo al dado rosso-verde: allo stato verde corrisponde il numero 4 e a quello rosso il numero 2: ovviamente 4 e 2 non sono le probabilità di questi stati, perché la probabilità dev’essere un numero compreso tra 0 e 1, ma per avere le probabilità vere basta dividere 4 e 2 per la somma di 4 e di 2, cioè per 6, ottenendo, come s’era visto 4/6 = 2/3 e 2/6 = 1/3; si noterà che, come deve accadere, la somma di 2/3 e di 1/3 è 1. La somma delle probabilità di tutti gli stati possibili (in questo caso solo due) dev’essere 1.
Però i numeri 4 e 2 da cui siamo partiti sono proporzionali alle probabilità, tant’è che basta dividerli per lo stesso fattore (6) per ottenere le probabilità vere.

Allora noi faremo un abuso di linguaggio e chiameremo quei numeri P le probabilità degli stati, anche se sappiamo che in realtà sono solo proporzionali alle vere probabilità.

Questa cosiddetta probabilità non è ancora l’entropia dello stato, ma molto quasi, perché per arrivarci bisogna solo inserire una funzione matematica che viene introdotta per varie ragioni. La straodiata (dagli studenti cui essa incute spavento e raccapriccio) funzione logaritmo.

Parentesi sul logaritmo: il logaritmo, se guardato freddamente, non fa alcuna paura.

Uno si impressiona se sente la definizione di log. (“il log di un numero z è l’esponente che bisogna dare a 10, o a qualche altro numero scelto convenzionalmente come base, per ottenere z”), definizione giusta ovviamente ma non perspicua e per noi qui comunque poco utile.

Basta invece sapere:

a) il logaritmo di un numero anche molto grande è un numero abbastanza piccolo. Esempio: il log. di un numero di trenta cifre è dell’ordine di 30. Il log di un numero di 1000 cifre è circa 1000, Capito? Rende maneggevoli numeri enormi.

b) Il log di un numero z, pur essendo così significativamente più piccolo di z, tuttavia ha un comportamento simile a z, nel senso che, se z cresce, anche log z cresce e se z diminuisce, anche log z diminuisce; solo che “smorza” molto le salite o le discese di z.

c) il log del prodotto di due numeri è la somma dei loro logaritmi. in formule: Log(x y) = Log x + Log y , magica e notevole proprietà. Esempio: (sempre parlando dei Log con base 10): il Log 100 = 2 , il Log 1000 = 3 ; se facciamo 100 1.000 otteniamo 100.000 e il Log 100.000 è per l’appunto 5 !

E adesso, visto che è venerdì sera, diciamolo: per uno stato macroscopico A di un gas, la sua entropia, tradizionalmente indicata con la lettera S , è definita come k Log P , dove P è quella cosa che già sappiamo, cioè il numero di stati MICROsc. cui lui (lo stato A) corrisponde, dove Log è il logaritmo e dove k è una certa costante, che serve ancora una volta soltanto a rendere i numeri maneggevoli, e che si chiama costante di Boltzmann, grande personaggio. Eccola qui dunque:

S = k Log P

Ovviamente manca ancora capire come si applica a un gas generico la storia del paesino e cioè in che senso per un gas uno stato Macrosc. può corrispondere a molti stati microscopici, ma il più è fatto.

E poi si intuirà che l’entropia rappresenta il disordine, che l’entropia di un sistema cresce, la morte termica dell’universo, che però non è così vicina, e forse neppure vera, eccetera, eccetera, eccetera…….

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[4 – continua alla parte 5]

Simplicio non ha digerito mica tanto! Scusa, puoi farmi un paio di esempi, così capisco a che punto sono della digestione?

Forse serve questo piccolo aperitivo: per un dado a sei facce la probabilità che venga 3 è 1/6; la probabilità che venga o 3 o 4 è 2x(1/6) = 1/3, perché le probabilità di eventi indipendenti si sommano. La probabilità che venga 2 o 3 o 5 o 6 è 4x(1/6) = 2/3 .

Allora facciamo così:

il nostro paesino è fatto solo di quattro case; ad ognuna appartiene un abitante che può o stare in casa o uscire (come nell’esempio precedente) ma quando esce accende una fiaccola.

Questi quattro abitanti stanno fuori casa o dentro casa in maniera del tutto casuale.

Io sto in alto su un monte da cui si vede il paesino, facciamo sia di notte così si vedono le fiaccole.

Indicherò ad esempio con 1,2 la situazione nella quale gli abitanti delle case 1 e 2 sono fuori e hanno quindi la fiaccola accesa, oppure con 1,3,4 la situazione nella quale gli abitanti delle case 1, 3 e 4 sono fuori e hanno quindi la fiaccola accesa.

Tutte le situazioni possibili, per ipotesi egualmente probabili, sono le seguenti (attenzione che i punti e virgola separano le diverse situazioni):

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 2,3 ; 2,4; 3,4 ; 1,2,3 ; 1,2,4 ; 1,3,4 ; 2,3,4 ; 1,2,3,4: 0=nessuno è fuori.

In tutto 16 possibili situazioni, egualmente probabili, Se io guardassi dettagliatamente tutto vedendo tutto (chi in particolare è fuori e chi è dentro) vedrei con uguale probabilità (ovviamente un sedicesimo) tutte queste situazioni, ovvero questi stati microscopici, secondo la nostra terminologia.

Ma io invece, che sto sulla montagna, vedo solo quante fiaccole sono accese e non mi importa e non distinguo la fiaccola di chi è accesa.

Allora per me le situazioni 1 ; 2 ; 3 ; 4 sono uguali tra loro, indistinguibili, sono la stessa situazione: una fiaccola accesa: chiamiamola situazione UNO.

E le situazioni 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 2,3 ; 2,4; 3,4 sono la stessa situazione: due fiaccole accese: chiamiamola DUE

E le situazioni 1,2,3 ; 1,2,4 ; 1,3,4 ; 2,3,4 sono la stessa situazione: tre fiaccole accese; chiamiamola TRE

La situazione 0 (nessuna fiaccola è accesa) è uguale solo a se stessa, chiamiamola ZERO, e così pure la situazione 1,2,3,4 (quattro fiaccole accese) è uguale solo a se stessa chiamiamola QUATTRO.

Credo a questo punto sia plausibile che:

ZERO ha probabilità 1/16
UNO ha probabilità 4x(1/16) = 1/4
DUE ha probabililtà 6x(1/16) = 3/8
TRE ha probabilità 4x(1/16) = 1/4
QUATTRO ha probabilità 1/16.

Se tutto va così dunque, dall’alto della montagna vedrò più probabilmente (3/8) la situazione DUE, un po’ meno (1/4) le situazioni UNO e TRE (tra loro equiprobabili) e assai meno (1/16) le situazioni ZERO e QUATTRO.

Nella terminologia della puntata precedente queste situazioni (ZERO, UNO, DUE, ecc.) sono gli stati MACROscopici mentre i sedici stati possibili sopra elencati sono gli stati MICROsc.. Così che adesso si capisce cosa vuol dire che a uno stato MACROsc. possono corrispondere anche più stati MICROsc. Per dirla ancora in altre parole, lo stato macroscopico è quello che viene osservato da un osservatore rozzo e bovino che vede poco, vede solo quante fiaccole sono accese, non vede quali. Ma, ecco qui il collegamento, l’osservatore che guarda un gas, come si diceva nella prima puntata, è per l’appunto forzatamente rozzo e bovino.

Un modo certo per capire è: 1° leggere adagio; 2° prendere un foglio e una penna e mettere giù l’analoga situazione con cinque invece che con quattro case. I numeri aumentano solo di poco. Si comincia però a capire che già con solo cento case i numeri aumentano spaventosamente.

Spero di avere per l’appunto acceso una fiaccola.

Dimmi se ho capito qualcosa. C’è una fiaccola. Può essere o accesa o spenta, tertium non datur. Se è accesa lo è perché il combustibile di cui è intrisa brucia. Se non lo è non lo è perché il combustibile di cui è intrisa non brucia, oppure perché non è intrisa di combustibile. Se la vedo così, è più probabile che sia accesa o spenta? Sono in dubbio se pensare a 1/2 per ciascuno degli stati o 1/3 per l’accesa e 2/3 per la spenta. Come dovrei ragionare? E soprattutto, come ragioniamo di fatto in situazioni più complesse?

Altra regola, oltre a quella fondamentale di leggere lentamente, è quella di non aggiungere particolari che eliminano la semplicità dell’esempio: in questo caso: non esiste il problema del combustibile della fiaccola, il combustibile c’è sempre. Se no dobbiamo preoccuparci anche della salute mentale di questi singolari quattro abitanti che vanno in giro in modo casuale giorno e notte e, quando escono, escono invariabilmente con una fiaccola accesa in mano.

Dunque, la fiaccola è solo un espediente per far vedere da lontano che c’è uno fuori casa, senza che si possa però dire chi è quello che è fuori casa.

Tutto il punto è di distinguere la visione parziale e rozza di chi guarda da lontano e la visione ideale (ma impossibile all’uomo) di chi vedesse tutto. Chi guarda da lontano vede solo fiaccole accese (corrispondenti agli abitanti che sono fuori casa [il combustibile c’è semre]), e per lui che siano fuori gli abitanti 2 e 4 o gli abitanti 1 e 3 è la stessa cosa, vede la stessa cosa (cioè due fiaccole accese), non riesce a distinguere alcuna differenza tra le due situazioni, per lui è lo stesso stato.

Per il momento dammi per buono che l’esempio del paesino di poche case c’entra con la descrizione del comportamento di un gas in fisica, rimandiamo il perché.

L’uomo scientifico che osserva (ad esempio un gas) è l’uomo rozzo e lontano e non può dirozzarsi.

Altro esempio col dado a sei facce. Sappiamo che ogni numero, dall’uno al sei, ha probabilità 1/6 di uscire (s’intende se il dado è tirato in modo imparziale…). (S’intende anche che qui nello scrivere indico con la x la moltiplicazione di numeri, non certo una qualche fantomatica incognita “ics”).

Ma il nostro speciale dado ha sei facce, come tutti i dadi, ma senza numeri, solo che due facce sono rosse e le altre quattro facce sono verdi. Adesso tiriamo il dado. Quante probabilità ci sono che salti fuori il rosso e quante che venga il verde? Siccome c’è una probabilità 1/6 che esca una qualsiasi faccia, evidentemente la faccia rossa uscirà con probabilità 2x(1/6) = 1/3, mentre la faccia verde uscirà con probabilità 4x(1/6) = 2/3, quindi doppia della probabilità di avere il risultato rosso. Da cosa deriva questa differenza, evidentemente dal fatto che l’osservatore distingue solo una caratteristica della faccia, il colore, può vedere solo quello, e dunque, del tutto giustamente, per lui la probabililtà del verde è doppia di quella del rosso. Certo se avesse altri strumenti per distinguere le facce, per esempio dei numeretti scritti su di esse, o un’imperfezione, una minuscola screpolatura diversa per ognuna, eccetera, distinguerebbe tutto e la probabilità di ogni risultato per lui distinguibile sarebbe 1/6; ma lui, rozzo, vede solo il rosso o il verde.

Come si può descrivere ciò anche? Semplicemente dicendo che il nostro osservatore, a causa delle sue limitate capacità di osservazione, raggruppa stati, che hanno la stessa probabilità di verificarsi, in gruppi corrispondenti alle sue possibilità di osservazione; evidentemente, a seconda di come li raggruppa, questi gruppi così ottenuti potranno essere costituiti di numeri diversi di stati e avranno quindi probabilità di verificarsi tra loro diverse. Pensiamo appunto all’esempio del dado con due colori: il nostro osservatore ha raggruppato le sei facce in due gruppi, uno di due facce e l’altro di quattro. E dunque il secondo gruppo ha probabilità doppia del primo di verificarsi.

Dài che questo trucchetto del dado è un buon digestivo. Raggruppare è la parola chiave.

Ma, se riesci a digerire il dado, ripensa — lentamente — al paesino, e lo digerisci subito.

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[3 – continua alla parte 4]

Senza fretta e con molta stima

Dario

Caro Dario, grazie del tuo messaggio: l’ho trovato caldo e riposante, che di questi tempi non è poco. Acconsento senz’altro al dialogo che proponi, figuriamoci se non acconsento. Comincio senz’altro, ma, come dici, senza fretta, con questa proposta.

L’entropia è un’idea che è venuta fuori dalla termodinamica
La termodinamica è diversa da altre branche della fisica per un ingrediente importantissimo: il come si fa a descrivere un sistema fisico, cioè quella che la fisica denomina realtà fisica.

Come è diverso questo come si fa? Tutta la meccanica descrive il comportamento (= il movimento) delle particelle (poche) che costituiscono il sistema dicendo, in ogni istante, dove stanno. E’ una descrizione analitica. Se si descrive il sistema Sole-Terra-Luna, il linguaggio che si usa è quello che dice dove stanno ad ogni istante il Sole, la Terra e la Luna: cioè le coordinate (fissato un certo sistema di riferimento) di questi tre oggetti.

La termodinamica non può fare così: perché descrive i gas, che sono fatti di miliardi di miliardi di particelle; non si può materialmente dire, o scrivere, dove stanno, ad ogni istante, miliardi di miliardi di particelle: è impossibile e inutile: il peggio del peggio.

La termodinamica cambia il linguaggio, cioè come si descrive il cambiamento.
Adotta una nuova tecnica: dà una descrizione macroscopica, globale, non dettagliata, sintetica e utile: dice qual è il volume occupato dal gas in ogni istante, qual è la forza (veramente la forza per unità di superficie, che si chiama pressione) che il gas esercita sulle pareti del recipiente che lo contiene (perché lui vorrebbe sempre espandersi), e poi la temperatura del gas; tutte cose che non danno informazione alcuna su dove sta la singola molecola di gas in un dato istante, ma che danno informazioni invece utili e utilizzabili sul comportamento del gas.

Dunque molto è cambiato rispetto alla meccanica; da qui il fascino e le peculiarità della termodinamica. Credo non sia difficile trovare metafore, o forse volevo dire analogie, narrative per un salto del genere, che dici?

Dirai che ancora l’entropia non è stata nominata, ma per arrivare al midollo buono, bisogna rosicchiare l’osso.

Ciao, Antonio

Quindi siamo di fronte a un cambiamento del modo in cui si fa una descrizione. Come se al comportamento di un singolo si sostituisse come oggetto di studio il comportamento di una popolazione, il che comporta riconoscere come impossibile stabilire i comportamenti di un singolo appartenente alla popolazione. O meglio, non tanto “impossibile”, quanto “non rilevante”. Capisco bene?

Capisci benissimo; il comportamento del singolo non è rilevante.

Adesso cominciamo a immaginarci qualche conseguenza di questo modo di fare:
Prendiamo proprio l’esempio che dici tu, quello di una popolazione. Ci sono cento persone che vivono in un paesino con cento case, una per persona.
Schematizziamo la situazione dicendo che ci interessa solo distinguere abitante in casa – abitante fuori casa.

Se considero lo stato A: tutti gli abitanti sono in casa, questo stato può realizzarsi in un solo modo: ogni abitante sta in casa. Così ovvio da sembrare scemo. Però aspetta.

Se considero lo stato B: un solo abitante è fuori, circola per le strade, allora questo può realizzarsi in cento diversi modi: l’abitante 1 è fuori e tutti gli altri dentro, l’abitante 2 è fuori e tutti gli altri sono dentro,……………………. e così via in cento diversi modi.

Prima riflessione: lo stato complessivamente descritto (stato macroscopico) A corrisponde a un solo stato dettagliatamente descritto (si chiama ufficialmente stato microscopico; cioè specificando analiticamente dove stanno i singoli abitanti). Invece lo stato macroscopico B corrisponde a 100 stati microscopici.

Dato quel che s’è detto nella prima puntata, noi osservatori umani esterni e grossi, riusciamo a valutare solo lo stato macroscopico, cioè riusciamo solo a vedere che c’è un solo abitante fuori, senza avere alcuna possibilità di dire quale.

Ma sotto sotto, nella realtà vera e fonda e non direttamente conoscibile, c’è anche lo stato microscopico.

Se andiamo avanti e consideriamo lo stato macroscopico C caratterizzato dall’avere 2 abitanti fuori casa, questo può essere realizzato in ancor più modi: sono fuori 1 e 2, oppure 1 e 3, oppure 1 e 4, eccetera eccetera, e poi 2 e 3, 2 e 4, eccetera, fino a 99 e 100; la matematica insegna che ci sono (100×99)/2 = 4.950 modi per produrre questo risultato: cioè lo stato macroscopico “ci sono due abitanti della città fuori casa” può essere realizzato in 4.950 modi – microscopici – diversi.

Quindi: lo stato che vediamo noi, che è lo stato macroscopico, può ottenersi in un numero più o meno grande di stati microscopici. (Lo stato A solo in 1 modo, lo stato B in 100 modi, lo stato C in 4950 modi).

Proseguendo si può considerare lo stato Z descritto dalla frase “ci sono 50 abitanti fuori (e quindi 50 in casa)” : esso può essere ottenuto in un numero molto alto di modi diversi, corrisponde cioè a un numero molto alto di stati microscopici. Questo numero è di poco superiore a 10 alla 29, cioè 1 seguito da 29 zeri, per impressionarci potremmo dire cento miliardi di miliardi di miliardi.

La probabilità è figlia dell’ignoranza.

Quando non si sa e non si riesce in alcun modo ad arrivare a sapere una cosa, si parla di probabilità della cosa, così fanno i fisici.

Se non conosciamo in alcun modo le abitudini degli abitanti del nostro paesino, cioè non sappiamo minimamente se sono nottambuli, se dormono tutto il giorno, quanti affari hanno da sbrigare fuori, ovvero non sappiamo niente di niente, non possiamo far altro, se proprio dobbiamo descrivere l’aspetto globale del paesino, che dire che tutte le situazioni possibili degli abitanti del paesino hanno la stessa probabilità. Cioè, col nostro linguaggio di prima, diciamo che tutti gli stati microscopici sono equiprobabili.

Ma allora gli stati macroscopici non hanno tutti la stessa probabilità. Eh?

Siamo a un passo.

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[1 – continua alla parte 2]