Dalla Compiuta Donzella e da De Sanctis in poi, sembra facile dire insieme.
L’insieme degli italiani, per dire. Pensate sia facile delimitare esattamente questo insieme, con tutta la precisione, quasi fastidiosa, che richiede la matematica? Chi sono gli italiani? Coloro che sono nati in Italia? Ve la sentireste di dire che Calvino non era italiano? Era nato infatti a Santiago de las Vegas nel 1923, e Cuba in nessun tempo è stata territorio italiano. E poi ‘nato in Italia’ è un concetto variabile nel Novecento: Rijeka, ora in Croazia, dall’inizio del 1924 appartenne al’Italia, col nome di Fiume, mentre ora no; vanno dunque contati come italiani esattamente quelli nati a Rijeka nel periodo nel quale fu chiamata ufficialmente Fiume. D’altra parte Italo Svevo, nato col nome di Aron Hector Schmitz nel 1861 a Triest, dato che allora era questo il nome dell’odierna Trieste, principale porto dell’Impero Austro-Ungarico, non era forse italiano? Certo, direte voi, fu un grande scrittore italiano, scrisse in italiano (ancorché un po’ scabro), così come Calvino; però allora il criterio di italianità diventa quello della lingua madre, che, come ben si capisce, è assai diverso dal criterio del territorio di nascita. Insomma, quando si vuol metter giù una definizione fatta bene cominciano le difficoltà.

Se poi entriamo nel campo della fisica, apriti cielo: Dico: l’insieme degli elettroni che in questo istante stanno in questa stanza, figuriamoci, la perdita di senso è enorme; la posizione di un elettrone non la sa nessuno e, secondo la meccanica quantistica, è in linea di principio non conoscibile con esattezza. Per cui gli elettroni immagazzinati nelle molecole del legno di questo tavolo ancora ancora si può dire stiano qua, ma quelli delle molecole d’aria vicino alla porta? Stanno, notoriamente, e ambiguamente, un po’ dentro e un po’ fuori.

Come si fa a precisare, ovvero a definire, un insieme? La via maestra è questa: si deve dire una proprietà che appartiene a certi elementi e ad altri no, così che diventa sensato pronunciare la frase “l’insieme di quegli elementi che godono di questa proprietà”. Stando attenti che la proprietà che si enuncia abbia senso, scartando dunque ad esempio la faccenda della posizione degli elettroni. Voi direte forse che nello stretto ambito della matematica, che appunto definisce tutto fino alla noia, non ci sono rischi; se dico l’insieme dei numeri interi positivi tali che siano divisibili esattamente (cioè senza resto) per 3, è chiarissimo cosa intendo: a questo insieme appartengono tutti gli interi del tipo 3, 6, 9, 12, ecc, e dato un qualsiasi numero intero posso stabilire con certezza se esso sta nel mio insieme.

Se rileggete attentamente, notate che ho detto “l’insieme dei numeri interi positivi tali che…”, e questo significa che io conoscevo già un universo di partenza, l’insieme degli interi positivi e tra questi ho scelto ulteriormente quelli che avevano una certa proprietà. Cioè ho definito un insieme che è parte di un altro: l’insieme degli interi positivi divisibili per 3 è un sottoinsieme di N, lettera che indica ovunque l’insieme degli interi positivi (numeri naturali).

Se non si fa così, anche nell’ambito delle matematiche possono sorgere dei guai intricatissimi. Il primo dei quali fu il seguente: Gottlob Frege, grande matematico, logico e filosofo tedesco, uno dei fondatori della logica così come oggi la conosciamo, pubblicò nel 1884 i suoi Grundlagen der Arithmetik (Fondamenti dell’aritmetica), migliorati e formalizzati poi nei successivi Grundgesetze der Arithmetik (leggi fondamentali dell’aritmetica). Frege pensava di avere sistemato completamente e perfettamente su base assiomatica tutta l’aritmetica, ma, mentre stava per uscire, nel 1902, il secondo volume di quest’ultima opera, gli arrivò una lettera di Bertrand Russell, che fu per Frege un duro colpo. Russell mostrava che, utilizzando il sistema di Frege, si riusciva a costruire un’antinomia, un paradosso, una definizione apparentemente ben posta, che si rivelava poi contraddittoria. Qual era questa definizione? Io qui ve la racconto perché è abbastanza famosa e perché costringe a far girare le rotelle del cervello un po’ più del solito. Però sarebbe carino che non smetteste di leggere adesso, non occorre sapere alcunché di matematica, basta avere i nervi saldi e saldamente ragionare.

Disse Russell: tra tutti gli insiemi che possiamo pensare ce ne sono alcuni, li chiameremo di categoria 1, che non contengono se stessi come elemento: ad esempio l’insieme dei numeri interi non è esso stesso un numero intero e dunque non appartiene a se stesso come elemento. Ce ne sono invece altri che appartengono a se stessi come elemento, li chiameremo di categoria 2. Ad esempio l’insieme dei concetti è esso stesso un concetto, e dunque appartiene a se stesso come elemento. E fin qui, sembra, nessun problema, si potrà dire che sono più frequenti quelli del primo tipo, però chi lo sa, gli insiemi possibili sono tanti assai.
Ma adesso attenzione a questo:
Chiamo Z l’insieme di tutti quegli insiemi che non contengono se stessi come elemento, in altre parole l’insieme di tutti gli insiemi di categoria 1. E mi domando se Z sia di categoria 1 o di categoria 2.
Provate a pensarci: se esso è di categoria 1, vuol dire che non contiene se stesso come elemento, ma lui contiene appunto tutti quelli di questo tipo, e quindi anche se stesso; ma allora è di categoria 2.
Allora proviamo a supporre che sia di categoria 2, allora contiene se stesso come elemento, ma ciò non può accadere perché lui contiene solo quelli di categoria 1.

Lo so che non è immediato capire, ma basta riflettere con calma, impiegare il tempo giusto e farsi girare le cose nella testa.

Frege capì e fu disperato. Il secondo volume dei suoi Grundgesetze, programmato per il 1902, uscì, con una frettolosa correzione, nel 1903. Ma il problema rimaneva. Occorreva cambiare qualcosa di importante.

Un altro esempio famoso è quello del barbiere del villaggio, strettamente legato alla sua definizione precisa: occorre anche supporre che non sia un barbiere del tutto glabro, ma che gli cresca normalmente la barba. Definizione di barbiere: egli è colui (e ce n’è uno solo in quel villaggio) che fa la barba a tutti e soli quegli abitanti del villaggio che non se la fanno da soli. Domanda chi fa la barba al barbiere? Si cade nella solita antinomia: se se la fa da solo allora non va bene, perché lui deve farla solo a quelli che non se la fanno da soli. E se non se la fa, pure c’è qualcosa che non va, perché allora se non si rade da solo, deve radersi per la sua stessa definizione.
Voi direte, che cosa c’entra questo con gli insiemi; c’entra perché la storia può facilmente essere riformulata definendo l’insieme di quei cittadini cui il nostro barbiere fa la barba (tutti e soli quelli che non se la fanno da soli): questo insieme contiene o no il barbiere stesso? Qui nasce, allo stesso modo di prima, la contraddizione.

La morale è, detto per ora schematicamente, che non si possono maneggiare gli insiemi come fossero noccioline, bisogna stare attenti, quando si comincia a dire frasi come “l’insieme di tutti gli insiemi tali che…” il pericolo, l’antinomia, il paradosso, la contraddizione sono in agguato. Ed è in agguato un concetto presente ormai nella mente di tutti noi, quello connesso con la mal definita parola infinito, dalla quale non scamperete nella prossima puntata.

[ringrazio molto per l’idea dell’immagine Tina Nastasi, a.s.]