Parlando della presa del pensiero sulla realtà, spero di avervi convinto almeno di una cosa, che per superare, risolvere, capire davvero quello che sembra un paradosso, occorre andargli dentro e spiegarlo con le sue stesse armi: nel caso della storia di Achille e della tartaruga, non basta cioè l’osservazione sperimentale del fatto che voi – ancorché non siate il Piè Veloce – raggiungete facilmente, se volete, qualsiasi tartaruga arranchi davanti ai vostri piedi (in terra, perché in mare con quelle delle Galàpagos, non saprei…), e neppure basta una procedura apparentemente più razionale, e cioè quello che seguirebbe qualsiasi studente di meccanica cui venisse posto il problema così formulato: dato Achille che corre con velocità V e parte da un punto distante a dal punto, davanti a lui, dal quale parte una tartaruga che comincia a correre (si fa per dire) con velocità v nello stesso istante nel quale comincia Achille e ovviamente nella stessa direzione, dopo quanto tempo (se, come si presume, V è maggiore di v) Achille raggiunge la tartaruga e a che distanza dal punto di partenza di Achille? A questo problema qualsiasi studente liceale che sappia i primi elementi di cinematica risponde in minuti quattro che il tempo richiesto è pari a a /(V-v) e che il punto nel quale avviene il sorpasso dista aV / (V-v) dal punto di partenza di Achille.

Ma non è questo il fatto cruciale: se crediamo, almeno un poco, alla coerenza logica del sensato ragionare.

Per rispondere a Zenone occorre dire se e come il suo ragionamento è sbagliato e come invece, anche seguendo correttamente il suo ragionamento, Achille raggiunge la tartaruga esattamente nello stesso momento e nello stesso luogo previsti dallo studente di meccanica.

Qual è il motivo per cui il ragionamento di Zenone sembra concludere che Achille non possa raggiungere la tartaruga? Il motivo è che il ragionamento presuppone infiniti passi e non si possono certo fare infiniti passi in un tempo finito, no? O sì?
Vediamo.
Un modo semplice per convincervi che invece ciò è largamente possibile, basta avere la mente un po’ aperta, ma neanche poi tanto, è il seguente:

Tutti sapete, e vedete in questa figura, cos’è un segmento AB; anzi sapete anche che contiene tanti punti quanto un’intera retta, cioè aleph, e via dicendo. Allora prendete AB e dividetelo a metà, chiamate A1 il punto di mezzo. Ora considerate la seconda metà delle due ottenute, cioè il segmento A1 B, e dividetelo a metà, ottenendo così il punto di mezzo A2. Analogamente ottenete i punti A3, A4, ecc. dividendo sempre a metà l’ultima metà precedentemente ottenuta.
In questo modo ottenete una successione di infiniti punti (A1, A2, A3, …..) e di infiniti segmenti: (A A1, A1 A2, A2 A3, A3 A4, …); tutti questi segmenti hanno questa proprietà, che sono tutti contenuti nel segmento A B, che tra loro non si sovrappongono (a parte i punti estremi, che non contano nulla) e che sono “tanti quanti” i numeri interi, cioè sono aleph con zero. Ma hanno soprattutto la straordinaria proprietà che la loro somma, somma di infiniti addendi, è – evidentemente – tutta contenuta nel segmento A B, che ha lunghezza finita. Questo esempio geometrico elementare mostra che la somma di infiniti pezzi, purché, come in questo caso, vadano rimpicciolendosi “abbastanza velocemente”, può anche essere finita. Diciamo che la lunghezza di A B sia 1 metro, e supponiamo di esprimere tutte le lunghezze in metri, allora la lunghezza di A A1 è ½, quella di A1 A2 è ¼, quella di A2 A3 è ⅛, e avanti così. Vuol dire che se eseguo la somma ½ + ¼ + ⅛ + ecc. trovo sempre un numero più piccolo di 1, che ha tra l’altro la proprietà di avvicinarsi a 1 quanto voglio io – basta sommare abbastanza tanti addendi.
Allora abbiamo stabilito questo, che la somma di infiniti addendi non è necessariamente infinita, può anche essere finita, dipende se mai da come sono fatti questi “infiniti addendi”. E allora cade il motivo principale di stupore per il paradosso di Achille e la tartaruga, che può venire trattato con gli strumenti dell’analisi ordinaria.

Questo è il punto essenziale, Zenone sbaglia quando conclude, dopo avere astutamente diviso il lasso di tempo nel quale Achille raggiunge la tartaruga in infiniti intervallini, sempre più piccoli, che allora, siccome questi sono infiniti, il raggiungimento non è possibile. L’esempio del segmento fa invece toccare con mano che questa conclusione è assolutamente non necessaria: la somma di infiniti numeri può dare un numero finito.

Rimarrebbe da eseguire esplicitamente il calcolo, seguendo la linea di Zenone, cioè l’astuta suddivisione, calcolo che mostra come anche così si ottengono esattamente gli stessi risultati dello studente di meccanica. Per far questo, occorre dare senso rigoroso a quell’espressione che con tanta leggerezza ho usato, la “somma di infiniti numeri”, e occorre conoscere come si fa a sommare una serie, cosa che qui non faccio, per non appesantire la faccenda e anche perché non saprei come scrivere qui le formule necessarie. Ma le formule, come spesso accade, non sono il cuore del problema: una volta che si sia guardato con l’occhio addestrato il segmento A B, tutto diventa chiaro.

Come ho già detto, Borges si occupa attivamente della questione. Oltre al saggio che già avevo citato, ve n’è un altro, intitolato “La perpetua corsa di Achille e della tartaruga”, nel quale molte delle argomentazioni qui esposte sono accennate, e peraltro borgesianamente trattate. Vi copio, dulcis in fundo, la conclusione di questo saggio:

Sono arrivato al finale della mia notizia, non del nostro cavillare. Il paradosso di Zenone di Elea, come osservò James, è un attentato non solo alla realtà dello spazio, bensì a quella più invulnerabile e sottile del tempo. Aggiungo che l’esistenza in un corpo fisico, la permanenza immobile, lo scorrere di una sera della vita, si allarmano di avventura per colpa sua. Quella decomposizione accade mediante la sola parola infinito, parola (e poi concetto) di spavento che abbiamo generato temerariamente e che una volta ammessa in un pensiero, esplode e lo uccide. (Ci sono altri moniti antichi contro il commercio di una parola tanto perfida: c’è la leggenda cinese dello scettro dei re di Liang, che diminuiva di una metà ad ogni nuovo re; lo scettro, mutilato da dinastie, esiste ancora.) La mia opinione, dopo quelle qualificatissime che ho presentato, corre il doppio rischio di sembrare impertinente e banale. La formulerò, tuttavia: Zenone è incontestabile, a meno di confessare l’idealità dello spazio e del tempo. Accettiamo l’idealismo, accettiamo l’accrescimento concreto di quanto è percepito, e potremo eludere il brulicare di abissi del paradosso.
Ritoccare il nostro concetto dell’universo, per quel pezzettino di tenebra greca?, domanderà il mio lettore.
(J. L. Borges, Tutte le opere, vol. I, Meridiani Mondadori, Milano 1984, pp. 384-85).

E poi, non crediate, dionescampi, che tutto sia così oggettivo, men che meno nella storia della scienza: taluni hanno detto di scorgere, ad un certo punto della parete, dei paesaggi da togliere il respiro, cui altri hanno invece guardato con stanca indifferenza. Fortunatamente il cervello degli umani è vario assai.

In questa storia dello spuntare dell’idea di infinito all’orizzonte della scienza moderna ci sono stati alcuni che si son com—piaciuti un sacco e altri che sono addirittura inorriditi. Esempio vivido di ciò fu il matematico tedesco Leopold Kronecker (1823 – 1891) che ritenne i “numeri transfiniti” (vedi oltre) creati dal matematico di nascita pietroburghese ma poi attivo a Halle, in Sassonia-Anhalt, Georg Cantor (1845 – 1918), suo antico allievo, Humbug – ciarlatanerie – come del resto il grande matematico e fisico Henri Poincaré (1854 – 1912) che li definì una “malattia” dalla quale la matematica andava guarita.

E la questione è sempre la solita: appena ci si distacca, poco o tanto, da quelle che sembrano essere nozioni intuitive, qualcosa dentro di noi si ribella: ma come, il mondo non è fatto come ce lo siamo sempre immaginati, fin dalla culla? Non c’è risposta tranchant a queste domande; per il passato, non c’è che guardare la storia della disciplina e esaminare quello che hanno fatto i protagonisti, di primo, ma anche di secondo e di terzo piano.

Un fatto che mi pare abbastanza chiaro è questo: inoltrandoci verso la fine dell’Ottocento e entrando nel Novecento – è la burrascosa e abbagliante epoca guglielmina – in molti, moltissimi settori della cultura, nel senso più lato possibile, dell’Occidente (che del resto del mondo non so dir nulla), sempre più troviamo segni di questo strappo del velo che l’intuizione, il paradigma del conoscere che ci sorbiamo automaticamente da piccoli, ci tiene davanti agli occhi.
Uno strappo del velo di Maya – metafora che Schopenhauer traeva dal pensiero indiano – che tratteneva gli umani in un mondo di apparenze fenomeniche dalle molteplici facce, e che costituivano quella cultura che fu poi spesso definita in molti settori, soprattutto scientifici, “classica”.

L’aspetto matematico della faccenda è quello che qui ci tocca da vicino. S’è visto che appena si abborda l’idea di infinito cominciano ad accadere cose strane, ma strane appunto perché non intuitive.

Vi ho detto della scelta cruciale di una definizione di “equivalenza” tra gli insiemi, che in questo caso prende il nome di equipotenza, anche non finiti (che d’ora in poi chiamerò infiniti, senza più problemi). E la scelta è centrata sul criterio che dice che due insiemi sono equipotenti quando è possibile istituire tra loro una corrispondenza biunivoca. Conseguenze di questa scelta sono i fatti strani finora visti, consistenti nella possibilità che un insieme sia equipotente con qualche suo sottoinsieme (non con tutti, ovviamente). Questo però fornisce anche un criterio per andare avanti, almeno in questo senso: anche tra gli insiemi infiniti si potrà stabilire una gerarchia, l’insieme A è più numeroso dell’insieme B.
Si può sì, e si fa così: se succede che non si può stabilire nessuna corrispondenza biunivoca tra A e B – il che ovviamente va dimostrato, non basta dire che non riusciamo ad inventarne una – e se B è un sottoinsieme di A (o, per la precisione, se è equipotente a un sottoinsieme di A), allora A è più potente di B.
Esempio: l’insieme R di tutti i numeri reali è più potente dell’insieme N dei naturali – e quindi dell’insieme dei pari, dell’insieme dei razionali, ecc. In questo caso, infatti, l’insieme degli interi (o anche dei pari, ecc.) è un sottoinsieme di R ma si dimostra che non esiste alcuna corrispondenza biunivoca tra N e R, proprio non ce ne può essere alcuna.

E voi direte, ma ci sono anche insiemi più potenti dell’insieme R, sì che ci sono, non c’è limite a quanto un insieme può essere “numeroso”, vi accenno solo che una tecnica per ottenere un insieme più potente di un insieme infinito qualsiasi A è quella di considerare l’insieme, che si indica di solito con P(A), di tutti i sottoinsiemi possibili di A, detto anche l’insieme delle parti di A. Ad esempio l’insieme R dei reali è equipotente all’insieme delle parti dell’insieme dei naturali N. E così via.

Bene, un modo per nominare la “potenza” di un insieme infinito è quello di assegnarle un numero, che viene per l’appunto detto transfinito: esempio
– la potenza – il numero transfinito – comune ai naturali, ai pari, ai razionali ed eventualmente altri, viene detta potenza del numerabile e indicata con la lettera aleph, א , prima lettera dell’alfabeto ebraico, con indice in basso zero (che qui non sono capace di mettere) , che viene letta “aleph con zero”.
– la potenza – il numero transfinito – corrispondente all’insieme dei numeri reali R è detta potenza del continuo e denotata con la lettera aleph, senza alcun indice, o talvolta provvista dell’indice 1 in basso, “aleph con uno”.
– e così via, si può proseguire: ogni volta si considera l’insieme parti del precedente e si ottiene un aleph maggiore: c’è una – infinita! – successione di numeri transfiniti, aleph con uno, aleph con due, aleph con tre, ecc. ecc.

Adesso armatevi di pazienza e sorbitevi quest’ultimo esempio, che vi darà grande soddisfazione e ovviamente vi stupirà un’altra volta: prendete un segmento KL di una retta r (K e L sono due punti distinti di r). L’insieme dei punti della retta r, lo sappiamo, ha la potenza del continuo, perché rappresenta l’insieme dei numeri reali, o, meglio, siamo noi che abbiamo decretato così, cioè abbiamo deciso che l’oggetto geometrico retta è un modo di visualizzare l’insieme dei numeri reali. Ma il segmento KL, che è un sottoinsieme della retta, che potenza avrà? Voi siete già smagati a questo punto, mica direte che per forza ha una potenza inferiore a quella della retta, o per lo meno, non necessariamente, può averla inferiore oppure no. Come si fa a decidere? Basta vedere se si può trovare o no una corrispondenza biunivoca tra la retta e un suo segmento.
Facile come l’acqua fresca. Guardate questa figura, che ho disegnato con paint e quindi perdonerete le imprecisioni.

Questo è un bel risultato, anch’esso sorprendente, naturalmente: un qualsiasi segmento, per piccolo che lo prendiate, contiene “tanti punti quanti” ne contiene l’intera retta. Siamo sempre lì, tutto dipende dalla definizione che i matematici hanno scelto per “avere la stessa potenza”, “avere tanti elementi quanti” in termini dell’esistenza di una corrispondenza biunivoca.

Di questo passo si arriva a capire che qualsiasi (pericolosissimo aggettivo) linea piana che voi possiate immaginare, una circonferenza, un’ellisse, uno scarabocchio qualsiasi è equipotente a R. Per trovare insiemi davvero più numerosi di R bisogna sforzarsi parecchio, Non bastano neppure le superficie piane o i volumi: con un po’ di sforzo si dimostra che l’insieme di tutti i punti del nostro infinito spazio tridimensionale è equipotente con un segmentino piccolo ad arbitrio.

E Achille e la tartaruga? La raggiunge? Vedremo.

La traditio lampadis, cara agli scrittori dell’antichità, suggeri- sce che la fiaccola della poesia passi da un poeta all’altro in occasione di qualche avve- nimento importante nella vita di entrambi. Una tradizione, peraltro ben lungi dall’esser sicura, vuole che la morte di Tito Lucrezio Caro, il 15 ottobre del 55 a. C., sia coincisa con l’assunzione della toga virile da parte di Virgilio. L’ispirazione dell’uno, vuole la traditio, parola qui quanto mai ricca di significato, passò all’altro. Lucrezio, illustre poeta, celebrato in tutta la latinità, scrisse un lungo poema intitolato De rerum natura, la natura delle cose, e fu così, oltre che poeta, anche scienziato – allievo in questo di Epicuro – e studioso della natura di insospettato interesse. Quella che voglio farvi leggere è la fine del libro III di questa sua opera, nella quale si medita sulla morte e sull’inutilità di prolungare a tutti i costi la vita; forse un accenno ante litteram all’indesiderabilità dell’accanimento terapeutico, nel quale però si espone una peculiare argomentazione. Sarà bene riportare gli ultimi versi del libro, nella traduzione di Luca Canali, che sta nell’ottima edizione (Rizzoli 1990) a cura di Gian Biagio Conte, Luca Canali e Ivano Dionigi. Ecco qua: (qui, per chi volesse, il testo latino dell’intera opera,

1076 Infine quale sciagurata cupidigia della vita
ci spinge con tanta forza a trepidare negli incerti pericoli?
Eppure v’è una fine certa dell’esistenza che attende i mortali,
né possiamo evitare la morte, sfuggire al suo agguato.
1080 Inoltre vagoliamo prigionieri sempre dei medesimi luoghi
e vivendo non è possibile plasmare alcun nuovo piacere.
Ma mentre ciò che desideriamo è lontano, ci sembra superiore ogni cosa;
poi quando l’oggetto della brama ci è dato, aneliamo ad altro,
e un’eguale sete della vita perennemente ci affanna.
1085 È dubbio che cosa ci porti il tempo futuro,
cosa ci rechi il caso, quale esito incalzi.
E certo protraendo la vita non sottraiamo un istante
al tempo della morte, non riusciamo neanche a scalfirlo,
per far sì che possiamo meno a lungo essere morti.
1090 Ti è lecito dunque seppellire vivendo quante generazioni vuoi;
tuttavia ti aspetterà non meno quell’eterna morte,
né meno a lungo non sarà esistente colui che termina
oggi il corso della vita, di colui che da molti
mesi e da molti anni è già prima scomparso.

Come sempre cito più versi del necessario, un po’ perché penso che leggere i classici faccia bene alla salute, e un po’ perché penso che citando solo lo stretto necessario, non si capisca dove siamo.
I versi che ci interessano di più sono gli ultimissimi: “né meno a lungo non sarà esistente…” [nec minus ille diu iam non erit]; come “né meno a lungo”? Chiederebbe chiunque: se io vivo più di te, allora tu sarai esistente meno a lungo di me, cioè sarai morto per più tempo. Mettiamola nel linguaggio degli insiemi: l’insieme di tempo in cui tu sarai morto sarà più ampio dell’insieme di tempo durante il quale sarò morto io, perché io sono morto dopo.
Il ragionamento che sembra sostenere questa obiezione è quello che dice: l’insieme del tempo nel quale tu sei morto contiene come suo sottoinsieme (indipendentemente da quando “il tempo finirà”) l’insieme del tempo nel quale sono morto io, quindi “è più grande”. E allora, Lucrezio, da dove attingeva? Questo di preciso non lo sa nessuno, anche perché di Epicuro poco ci è rimasto.

Ma noi siamo arrivati al punto.

Per capire un po’ di più, facciamo un esempio meno lugubre, ma più asettico: lasciatemi chiamare N l’insieme dei numeri naturali (1, 2, 3, …) e P l’insieme dei naturali pari (2, 4, 6, …). È evidente che N contiene P e anzi ha in più tutti i dispari, dunque “è più grande”. Però.

Però, dovete provare a concedermi questo: se ho due insiemi A e B e riesco a istituire quella che si chiama una “corrispondenza biunivoca” tra A e B, cioè una regola che fa corrispondere ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B, in modo che ogni elemento di B sia corrispondente di un elemento di A, allora sembra sensato dire che i due insiemi contengono lo stesso numero di elementi. Prendete la vostra mano sinistra e la vostra mano destra: potete facilmente costruire diverse corrispondenze biunivoche tra l’insieme delle dita della destra e l’analogo per la sinistra, per esempio quella che viene in mente subito, che fa corrispondere pollice a pollice, indice a indice, ecc. Questa è una corrispondenza biunivoca: ad ogni dito della destra corrisponde esattamente un dito della sinistra e viceversa; avreste anche potuto definire altre corrispondenze, ad esempio (rovesciando una delle due mani) pollice – mignolo, indice – anulare, ecc. L’importante sembra essere questo, che se c’è una corrispondenza biunivoca tra due insiemi allora essi “contengono lo stesso numero di elementi”.
Adesso torniamo a N e a P.
Io vi metto giù subito una corrispondenza biunivoca tra i due; state a sentire: ad ogni naturale n appartenente a N faccio corrispondere il naturale 2n, cioè n moltiplicato per due, che, essendo evidentemente pari, appartiene a P. Questa corrispondenza è assolutamente biunivoca: se n ≠ m, allora 2n ≠ 2m. E viceversa, ad ogni numero pari, che è certamente della forma 2n, essendo pari e quindi divisibile per due, faccio corrispondere il naturale n. Esiste una corrispondenza biunivoca (la moltiplicazione per due, se vista a partire da N, o la divisione per due, se vista da P) tra due insiemi di cui avevamo detto che l’uno era contenuto (sembrava anzi “la metà”) dell’altro.

Qui cominciano gli spaventi dell’infinito.

Vedete, il problema è che a questo punto, dire ‘affidiamoci all’intuizione’, al ‘buon senso’, non è più sufficiente; perché sembra intuitivo dire che se un insieme ne contiene un altro, allora certamente ha più elementi di quello, e sembra altrettanto intuitivo dire che se tra due insiemi c’è una corrispondenza biunivoca, allora i due insiemi contengono lo stesso numero di elementi. Quale scegliere? La matematica ha scelto la seconda, sopportando stoicamente la controintuitività che ne consegue in molti casi.

È ben chiaro che se si tratta di due insiemi che contengono un numero finito di elementi (cosa vuol dire “finito”? Proviamo a dir così: se vi mettete a contarli, a un certo punto finite, almeno in linea di principio, certo, se il numero di elementi è miliardi di miliardi…. ma questa passatemela così), tra essi ci può essere una corrispondenza biunivoca soltanto se davvero hanno lo stesso numero (finito) di elementi, e non può assolutamente darsi che uno dei due contenga l’altro più un altro pezzo. Per gli insiemi finiti, diciamocelo, non c’è problema.

Allora ecco qua: questa caratteristica, che alcuni insiemi possono possedere, di essere mettibili in corrispondenza biunivoca con un loro sottoinsieme, è quella che definisce gli insiemi detti infiniti. I naturali sono infiniti, i pari sono infiniti, e così i dispari, tutti i multipli di 47, o di qualsiasi altro intero. Per non parlare di tutti gli insiemi di numeri di cui avrete sentito parlare, i razionali, i reali, i complessi, e via enumerando.

E Lucrezio? Per capire bene, beninteso alla luce del pensiero matematico moderno, la giustezza dell’argomentazione di Lucrezio, credo dovrete aspettare la prossima tappa.

La parola infinito non deve spaventare nessuno e spaventa quando è usata in modo vago. Occorre capire bene che significato le vogliamo dare e in quali contesti. Esempio: qualche riga sopra ho scritto più volte “un numero finito”: a rigore aggettivo del tutto inutile, ridondante, non esiste alcunché, per quel che ne sappiamo finora che sia un “numero infinito”, questa locuzione non significa assolutamente nulla, tutti i numeri che conoscete sono “finiti”; del resto, sono i “naturali”!

Tutte le volte che si fa un’affermazione, salta fuori che, se va bene, è vera in quel particolare contesto, ma che, se cambiate contesto, o ampliate le conoscenze, essa è falsa. E così è per le ultime righe. Perché sul finire dell’Ottocento il matematico pietroburghese Georg Cantor, si inventò i “numeri infiniti”, che veramente chiamò transfiniti. Ma questa, naturalmente, è una storia per domani.

Avete notato l’unica correzione, di mano di Leopardi, al manoscritto del suo ultracelebre L’infinito?