Ma dunque, ci si chiedeva qui, perché mai la matematica funziona? In altri termini: perché la matematica è utile a descrivere la realtà? Come mai la matematica, tipico frutto di un organo interno di Homo Sapiens, il cervello, è utile a descrivere, spesso con grande successo, la realtà esterna?

Naturalmente è una domanda che si sono posti in molti, sia dentro che fuori lo stretto ambito dei “cultori della materia”. Voi direte che c’è almeno un livello elementare nel quale è ovvio che funzioni; prendiamo il contare, ad esempio: è un’operazione che sembra estremamente aderente alla nostra esperienza quotidiana. Siamo in grado di mettere in fila degli oggetti e quindi di contarli, il che, provate a pensarci, vuol dire che siamo in grado anzitutto di separarli l’uno dall’altro: se gli oggetti fossero nuvole di fumi colorati che si compenetrano l’una con l’altra, comincerebbe a diventare problematico distinguerli chiaramente e quindi contarli.
E allora, primo, separarli e poi enumerarli, che poi vuol dire soltanto attribuire ad ognuno di essi un nome che dipende dalla sua posizione nella fila nella quale li abbiamo messi; potremmo anche pensare di avere una fila di tante caselle vuote e di dare un nome diverso ad ognuna delle caselle, uno, due, tre,… piuttosto che un, deux, trois,.. o una qualsiasi delle migliaia di varietà di scelte che Homo Sapiens è riuscito a inventare sul pianeta. Così poi, ogni volta che riempiamo quelle caselle con oggetti, ognuno di essi acquista automaticamente un nome nella fila, il suo posto, il suo numero.
E allora, concluderete voi, sul contare non ci sono tanti misteri, funziona perché rispecchia esattamente una caratteristica della realtà ‒ o dovremmo forse dire della nostra percezione della realtà? Perché, a ben vedere, questo fatto di percepire (verbo che allude strettamente all’umano) gli oggetti separati tra loro ‒ che è anche quanto garantisce la possibilità di parlare di “oggetti”, altrimenti si dovrebbe parlare di una sola grande e confusa “cosa” ‒ è qualcosa di legato al nostro modo di interagire con quanto è esterno a noi; e se invece possedessimo altri sensi (la stessa domanda si poneva Michel de Montaigne, circa 1580), che la nostra evoluzione non ha previsto, che ci permettessero di percepire le connessioni tra tutti quelli che ora chiamiamo “oggetti” in un modo molto più forte e completo di quanto non ci sia dato ora, se “vedessimo” tutte le forze che si esercitano tra le cose del mondo, in una turbinosa vertigine di legami che tutto avvolgerebbe … beh, allora certo sarebbe ben più arduo parlare di “oggetti” e contare.

Comunque le percezioni umane sono fatte così, ed oggi siamo in grado di fare questo, cioè di contare: uno dei molti modi che ci siamo dati per elaborare e gestire la complessità del mondo.

Ma il problema diventa meno facile quando si prendono in considerazione dei livelli più avanzati di matematica. Guardate cosa pensava uno dei grandi fisici e matematici del Novecento, l’ungherese Jenő Pál Wigner, noto in occidente come Eugene Paul W.: in un suo celebre articolo: egli racconta la storia di due compagni di scuola che, ritrovatisi anni dopo l’università, chiacchierano del proprio lavoro. Uno dei due è diventato un esperto di statistica e mostra all’altro una sua recente pubblicazione sulla propria materia. Una delle prime formule che appare contiene la funzione gaussiana, una delle basi della statistica, utile in molti casi, per descrivere i modi in cui si distribuiscono le popolazioni sul territorio che occupano; ora succede questo fatto, cui nessun esperto del ramo bada più, scrivendo automaticamente la formula: nell’espressione matematica della funzione in questione appare il numero pi greco, il celebre π.
L’amico, assai digiuno di scienze, chiede incuriosito cosa significhi quel simbolo e lo statistico, vagamente spazientito di fronte a tanta ignoranza, spiega che si tratta di un famoso numero che rappresenta il rapporto tra la lunghezza di una qualsiasi circonferenza e quella del suo diametro. L’amico protesta che lo si prende in giro, visto che non ritiene possibile che il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il proprio diametro abbia qualcosa a che fare con la distribuzione delle popolazioni e lo statistico prova un vero imbarazzo a rispondere a una questione così formulata.

Confessa Wigner di condividere un po’ di quell’imbarazzo ‒ «I had to admit to an eerie feeling» ‒, una sensazione di inquieta stranezza, di incapacità a fornire una spiegazione vera e non solo formale di come mai il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro possa influenzare le questioni di distribuzione di popolazioni. E più in generale, Wigner non trova argomentazioni convincenti per giustificare il clamoroso successo della matematica nell’elaborazione della fisica e delle scienze della natura (come mostrato dal titolo del suo articolo: “l’irragionevole efficacia….”).

Contro questa sensazione di mistero che Wigner articola e sviluppa in tutto l’articolo, tra il mistico e l’inquietante, argomenta Giovanni Boniolo, sostenendo un ben diverso punto di vista, centrato sulla pratica degli scienziati e sulla storia delle discipline. Egli arriva a concludere che

«L’appropriatezza del linguaggio matematico per la formulazione delle leggi della fisica non è un regalo fattoci da qualcuno per chissà quale misterioso motivo, ma il risultato di centinaia e centinaia di anni di tentativi errati. È il frutto del continuo adattamento delle teorie alla struttura fisica che si intende catturare e delle teorie tra loro.» (corsivo mio).

L’argomentazione è dunque che il complesso delle matematiche che l’uomo ha elaborato nel corso degli ultimi due o tre millenni sia il frutto di un percorso di continui adattamenti alle crescenti esigenze di una descrizione quantitativamente accurata della natura, unite naturalmente al tipo di razionalità – e di fantasia – di singoli che hanno determinato il cammino della matematica in una direzione piuttosto che in un’altra.
Una sorta di autentica selezione naturale ha determinato la sopravvivenza di quelle parti della matematica che si sono adattate alla particolare descrizione percettiva della natura che Homo Sapiens è riuscito a sviluppare. Così come ‒ diceva Ernst Mach ‒ «il mondo ci è dato una sola volta», anche la matematica che l’uomo si è costruito possiede questa unica particolare configurazione, frutto storicamente determinato di un percorso di prova ed errore tuttora ovviamente in evoluzione.

Le regioni più apparentemente astratte della matematica si sono rivelate ‒ talvolta sorprendentemente ‒ utili per affrontare nuovi problemi della fisica; lo studio degli spazi infinito dimensionali ‒ ma dove mai si sarebbero “visti” in natura degli “spazi infinito-dimensionali”? ‒, e soprattutto di una speciale categoria di essi, quella degli “spazi di Hilbert”, si è rivelato cruciale per la costruzione della meccanica quantistica; la teoria dei grandi numeri primi si è rivelata utile nello studio della crittografia e della sicurezza nella trasmissione delle informazioni, e gli esempi si potrebbero moltiplicare.
Non solo ‒ e qui andrà individuata anche la risposta allo stupore dell’amico che giustamente non intuisce alcuna connessione tra pi greco e la statistica ‒ ma settori della matematica apparentemente assai differenti, in quanto sviluppatisi a partire da spunti iniziali diversi, presenteranno analogie insospettate; ed anzi, i grandi teoremi della matematica contemporanea “scoprono” spesso proprio questo, ponti tra edifici lontani, che forse però soltanto sembravano lontani. E forse invece è sempre lo stesso edificio, che contiene tante stanze e tante scale diverse, e la successione di scale per arrivare ad una determinata stanza può benissimo non essere unica, e così l’edificio è anche più bello e interessante.

Le formule, dunque, semplici o complicate, sono un frutto, una forma, della capacità degli esseri umani di descrivere astrattamente e di collegare tra loro le proprie percezioni di quanto avviene nel loro ambiente. Io vorrei ripetere qui quello che ho sempre ripetuto ai miei studenti, che spesso sono stati studenti di materie umanistiche, e dunque poco attrezzati a scriver simboli.
Non le formule sono padrone vostre, ma voi siete padroni delle formule, voi (in questo caso James Clerk Maxwell, 1872) le avete inventate e voi siete in grado, se qualcuno vi fornisce le opportune istruzioni, di capirle, di usarle e di criticarle; la difficoltà può essere solo causata da chi non è capace di fornirvi gli attrezzi giusti, e allora pretendeteli e protestate.