Dialogo sull’entropia (#3). Una tazza di tè verde.

di Antonio Sparzani e Dario Voltolini

Simplicio non ha digerito mica tanto! Scusa, puoi farmi un paio di esempi, così capisco a che punto sono della digestione?

Forse serve questo piccolo aperitivo: per un dado a sei facce la probabilità che venga 3 è 1/6; la probabilità che venga o 3 o 4 è 2x(1/6) = 1/3, perché le probabilità di eventi indipendenti si sommano. La probabilità che venga 2 o 3 o 5 o 6 è 4x(1/6) = 2/3 .

Allora facciamo così:

il nostro paesino è fatto solo di quattro case; ad ognuna appartiene un abitante che può o stare in casa o uscire (come nell’esempio precedente) ma quando esce accende una fiaccola.

Questi quattro abitanti stanno fuori casa o dentro casa in maniera del tutto casuale.

Io sto in alto su un monte da cui si vede il paesino, facciamo sia di notte così si vedono le fiaccole.

Indicherò ad esempio con 1,2 la situazione nella quale gli abitanti delle case 1 e 2 sono fuori e hanno quindi la fiaccola accesa, oppure con 1,3,4 la situazione nella quale gli abitanti delle case 1, 3 e 4 sono fuori e hanno quindi la fiaccola accesa.

Tutte le situazioni possibili, per ipotesi egualmente probabili, sono le seguenti (attenzione che i punti e virgola separano le diverse situazioni):

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 2,3 ; 2,4; 3,4 ; 1,2,3 ; 1,2,4 ; 1,3,4 ; 2,3,4 ; 1,2,3,4: 0=nessuno è fuori.

In tutto 16 possibili situazioni, egualmente probabili, Se io guardassi dettagliatamente tutto vedendo tutto (chi in particolare è fuori e chi è dentro) vedrei con uguale probabilità (ovviamente un sedicesimo) tutte queste situazioni, ovvero questi stati microscopici, secondo la nostra terminologia.

Ma io invece, che sto sulla montagna, vedo solo quante fiaccole sono accese e non mi importa e non distinguo la fiaccola di chi è accesa.

Allora per me le situazioni 1 ; 2 ; 3 ; 4 sono uguali tra loro, indistinguibili, sono la stessa situazione: una fiaccola accesa: chiamiamola situazione UNO.

E le situazioni 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 2,3 ; 2,4; 3,4 sono la stessa situazione: due fiaccole accese: chiamiamola DUE

E le situazioni 1,2,3 ; 1,2,4 ; 1,3,4 ; 2,3,4 sono la stessa situazione: tre fiaccole accese; chiamiamola TRE

La situazione 0 (nessuna fiaccola è accesa) è uguale solo a se stessa, chiamiamola ZERO, e così pure la situazione 1,2,3,4 (quattro fiaccole accese) è uguale solo a se stessa chiamiamola QUATTRO.

Credo a questo punto sia plausibile che:

ZERO ha probabilità 1/16
UNO ha probabilità 4x(1/16) = 1/4
DUE ha probabililtà 6x(1/16) = 3/8
TRE ha probabilità 4x(1/16) = 1/4
QUATTRO ha probabilità 1/16.

Se tutto va così dunque, dall’alto della montagna vedrò più probabilmente (3/8) la situazione DUE, un po’ meno (1/4) le situazioni UNO e TRE (tra loro equiprobabili) e assai meno (1/16) le situazioni ZERO e QUATTRO.

Nella terminologia della puntata precedente queste situazioni (ZERO, UNO, DUE, ecc.) sono gli stati MACROscopici mentre i sedici stati possibili sopra elencati sono gli stati MICROsc.. Così che adesso si capisce cosa vuol dire che a uno stato MACROsc. possono corrispondere anche più stati MICROsc. Per dirla ancora in altre parole, lo stato macroscopico è quello che viene osservato da un osservatore rozzo e bovino che vede poco, vede solo quante fiaccole sono accese, non vede quali. Ma, ecco qui il collegamento, l’osservatore che guarda un gas, come si diceva nella prima puntata, è per l’appunto forzatamente rozzo e bovino.

Un modo certo per capire è: 1° leggere adagio; 2° prendere un foglio e una penna e mettere giù l’analoga situazione con cinque invece che con quattro case. I numeri aumentano solo di poco. Si comincia però a capire che già con solo cento case i numeri aumentano spaventosamente.

Spero di avere per l’appunto acceso una fiaccola.

Dimmi se ho capito qualcosa. C’è una fiaccola. Può essere o accesa o spenta, tertium non datur. Se è accesa lo è perché il combustibile di cui è intrisa brucia. Se non lo è non lo è perché il combustibile di cui è intrisa non brucia, oppure perché non è intrisa di combustibile. Se la vedo così, è più probabile che sia accesa o spenta? Sono in dubbio se pensare a 1/2 per ciascuno degli stati o 1/3 per l’accesa e 2/3 per la spenta. Come dovrei ragionare? E soprattutto, come ragioniamo di fatto in situazioni più complesse?

Altra regola, oltre a quella fondamentale di leggere lentamente, è quella di non aggiungere particolari che eliminano la semplicità dell’esempio: in questo caso: non esiste il problema del combustibile della fiaccola, il combustibile c’è sempre. Se no dobbiamo preoccuparci anche della salute mentale di questi singolari quattro abitanti che vanno in giro in modo casuale giorno e notte e, quando escono, escono invariabilmente con una fiaccola accesa in mano.

Dunque, la fiaccola è solo un espediente per far vedere da lontano che c’è uno fuori casa, senza che si possa però dire chi è quello che è fuori casa.

Tutto il punto è di distinguere la visione parziale e rozza di chi guarda da lontano e la visione ideale (ma impossibile all’uomo) di chi vedesse tutto. Chi guarda da lontano vede solo fiaccole accese (corrispondenti agli abitanti che sono fuori casa [il combustibile c’è semre]), e per lui che siano fuori gli abitanti 2 e 4 o gli abitanti 1 e 3 è la stessa cosa, vede la stessa cosa (cioè due fiaccole accese), non riesce a distinguere alcuna differenza tra le due situazioni, per lui è lo stesso stato.

Per il momento dammi per buono che l’esempio del paesino di poche case c’entra con la descrizione del comportamento di un gas in fisica, rimandiamo il perché.

L’uomo scientifico che osserva (ad esempio un gas) è l’uomo rozzo e lontano e non può dirozzarsi.

Altro esempio col dado a sei facce. Sappiamo che ogni numero, dall’uno al sei, ha probabilità 1/6 di uscire (s’intende se il dado è tirato in modo imparziale…). (S’intende anche che qui nello scrivere indico con la x la moltiplicazione di numeri, non certo una qualche fantomatica incognita “ics”).

Ma il nostro speciale dado ha sei facce, come tutti i dadi, ma senza numeri, solo che due facce sono rosse e le altre quattro facce sono verdi. Adesso tiriamo il dado. Quante probabilità ci sono che salti fuori il rosso e quante che venga il verde? Siccome c’è una probabilità 1/6 che esca una qualsiasi faccia, evidentemente la faccia rossa uscirà con probabilità 2x(1/6) = 1/3, mentre la faccia verde uscirà con probabilità 4x(1/6) = 2/3, quindi doppia della probabilità di avere il risultato rosso. Da cosa deriva questa differenza, evidentemente dal fatto che l’osservatore distingue solo una caratteristica della faccia, il colore, può vedere solo quello, e dunque, del tutto giustamente, per lui la probabililtà del verde è doppia di quella del rosso. Certo se avesse altri strumenti per distinguere le facce, per esempio dei numeretti scritti su di esse, o un’imperfezione, una minuscola screpolatura diversa per ognuna, eccetera, distinguerebbe tutto e la probabilità di ogni risultato per lui distinguibile sarebbe 1/6; ma lui, rozzo, vede solo il rosso o il verde.

Come si può descrivere ciò anche? Semplicemente dicendo che il nostro osservatore, a causa delle sue limitate capacità di osservazione, raggruppa stati, che hanno la stessa probabilità di verificarsi, in gruppi corrispondenti alle sue possibilità di osservazione; evidentemente, a seconda di come li raggruppa, questi gruppi così ottenuti potranno essere costituiti di numeri diversi di stati e avranno quindi probabilità di verificarsi tra loro diverse. Pensiamo appunto all’esempio del dado con due colori: il nostro osservatore ha raggruppato le sei facce in due gruppi, uno di due facce e l’altro di quattro. E dunque il secondo gruppo ha probabilità doppia del primo di verificarsi.

Dài che questo trucchetto del dado è un buon digestivo. Raggruppare è la parola chiave.

Ma, se riesci a digerire il dado, ripensa — lentamente — al paesino, e lo digerisci subito.

——-

[3 – continua alla parte 4]