Chi ha paura delle formule #3: irragionevole efficacia?
di Antonio Sparzani
Ma dunque, ci si chiedeva qui, perché mai la matematica funziona? In altri termini: perché la matematica è utile a descrivere la realtà? Come mai la matematica, tipico frutto di un organo interno di Homo Sapiens, il cervello, è utile a descrivere, spesso con grande successo, la realtà esterna?
Naturalmente è una domanda che si sono posti in molti, sia dentro che fuori lo stretto ambito dei “cultori della materia”. Voi direte che c’è almeno un livello elementare nel quale è ovvio che funzioni; prendiamo il contare, ad esempio: è un’operazione che sembra estremamente aderente alla nostra esperienza quotidiana. Siamo in grado di mettere in fila degli oggetti e quindi di contarli, il che, provate a pensarci, vuol dire che siamo in grado anzitutto di separarli l’uno dall’altro: se gli oggetti fossero nuvole di fumi colorati che si compenetrano l’una con l’altra, comincerebbe a diventare problematico distinguerli chiaramente e quindi contarli.
E allora, primo, separarli e poi enumerarli, che poi vuol dire soltanto attribuire ad ognuno di essi un nome che dipende dalla sua posizione nella fila nella quale li abbiamo messi; potremmo anche pensare di avere una fila di tante caselle vuote e di dare un nome diverso ad ognuna delle caselle, uno, due, tre,… piuttosto che un, deux, trois,.. o una qualsiasi delle migliaia di varietà di scelte che Homo Sapiens è riuscito a inventare sul pianeta. Così poi, ogni volta che riempiamo quelle caselle con oggetti, ognuno di essi acquista automaticamente un nome nella fila, il suo posto, il suo numero.
E allora, concluderete voi, sul contare non ci sono tanti misteri, funziona perché rispecchia esattamente una caratteristica della realtà ‒ o dovremmo forse dire della nostra percezione della realtà? Perché, a ben vedere, questo fatto di percepire (verbo che allude strettamente all’umano) gli oggetti separati tra loro ‒ che è anche quanto garantisce la possibilità di parlare di “oggetti”, altrimenti si dovrebbe parlare di una sola grande e confusa “cosa” ‒ è qualcosa di legato al nostro modo di interagire con quanto è esterno a noi; e se invece possedessimo altri sensi (la stessa domanda si poneva Michel de Montaigne, circa 1580), che la nostra evoluzione non ha previsto, che ci permettessero di percepire le connessioni tra tutti quelli che ora chiamiamo “oggetti” in un modo molto più forte e completo di quanto non ci sia dato ora, se “vedessimo” tutte le forze che si esercitano tra le cose del mondo, in una turbinosa vertigine di legami che tutto avvolgerebbe … beh, allora certo sarebbe ben più arduo parlare di “oggetti” e contare.
Comunque le percezioni umane sono fatte così, ed oggi siamo in grado di fare questo, cioè di contare: uno dei molti modi che ci siamo dati per elaborare e gestire la complessità del mondo.
Ma il problema diventa meno facile quando si prendono in considerazione dei livelli più avanzati di matematica. Guardate cosa pensava uno dei grandi fisici e matematici del Novecento, l’ungherese Jenő Pál Wigner, noto in occidente come Eugene Paul W.: in un suo celebre articolo: 1 egli racconta la storia di due compagni di scuola che, ritrovatisi anni dopo l’università, chiacchierano del proprio lavoro. Uno dei due è diventato un esperto di statistica e mostra all’altro una sua recente pubblicazione sulla propria materia. Una delle prime formule che appare contiene la funzione gaussiana, una delle basi della statistica, utile in molti casi, per descrivere i modi in cui si distribuiscono le popolazioni sul territorio che occupano; ora succede questo fatto, cui nessun esperto del ramo bada più, scrivendo automaticamente la formula: nell’espressione matematica della funzione in questione appare il numero pi greco, il celebre π.
L’amico, assai digiuno di scienze, chiede incuriosito cosa significhi quel simbolo e lo statistico, vagamente spazientito di fronte a tanta ignoranza, spiega che si tratta di un famoso numero che rappresenta il rapporto tra la lunghezza di una qualsiasi circonferenza e quella del suo diametro. L’amico protesta che lo si prende in giro, visto che non ritiene possibile che il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il proprio diametro abbia qualcosa a che fare con la distribuzione delle popolazioni e lo statistico prova un vero imbarazzo a rispondere a una questione così formulata.
Confessa Wigner di condividere un po’ di quell’imbarazzo ‒ «I had to admit to an eerie feeling» ‒, una sensazione di inquieta stranezza, di incapacità a fornire una spiegazione vera e non solo formale di come mai il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro possa influenzare le questioni di distribuzione di popolazioni. E più in generale, Wigner non trova argomentazioni convincenti per giustificare il clamoroso successo della matematica nell’elaborazione della fisica e delle scienze della natura (come mostrato dal titolo del suo articolo: “l’irragionevole efficacia….”).
Contro questa sensazione di mistero che Wigner articola e sviluppa in tutto l’articolo, tra il mistico e l’inquietante, argomenta Giovanni Boniolo, 2 sostenendo un ben diverso punto di vista, centrato sulla pratica degli scienziati e sulla storia delle discipline. Egli arriva a concludere che
«L’appropriatezza del linguaggio matematico per la formulazione delle leggi della fisica non è un regalo fattoci da qualcuno per chissà quale misterioso motivo, ma il risultato di centinaia e centinaia di anni di tentativi errati. È il frutto del continuo adattamento delle teorie alla struttura fisica che si intende catturare e delle teorie tra loro.» (corsivo mio).
L’argomentazione è dunque che il complesso delle matematiche che l’uomo ha elaborato nel corso degli ultimi due o tre millenni sia il frutto di un percorso di continui adattamenti alle crescenti esigenze di una descrizione quantitativamente accurata della natura, unite naturalmente al tipo di razionalità – e di fantasia – di singoli che hanno determinato il cammino della matematica in una direzione piuttosto che in un’altra.
Una sorta di autentica selezione naturale ha determinato la sopravvivenza di quelle parti della matematica che si sono adattate alla particolare descrizione percettiva della natura che Homo Sapiens è riuscito a sviluppare. Così come ‒ diceva Ernst Mach ‒ «il mondo ci è dato una sola volta», anche la matematica che l’uomo si è costruito possiede questa unica particolare configurazione, frutto storicamente determinato di un percorso di prova ed errore tuttora ovviamente in evoluzione.
Le regioni più apparentemente astratte della matematica si sono rivelate ‒ talvolta sorprendentemente ‒ utili per affrontare nuovi problemi della fisica; lo studio degli spazi infinito dimensionali ‒ ma dove mai si sarebbero “visti” in natura degli “spazi infinito-dimensionali”? ‒, e soprattutto di una speciale categoria di essi, quella degli “spazi di Hilbert”, si è rivelato cruciale per la costruzione della meccanica quantistica; la teoria dei grandi numeri primi si è rivelata utile nello studio della crittografia e della sicurezza nella trasmissione delle informazioni, e gli esempi si potrebbero moltiplicare.
Non solo ‒ e qui andrà individuata anche la risposta allo stupore dell’amico che giustamente non intuisce alcuna connessione tra pi greco e la statistica ‒ ma settori della matematica apparentemente assai differenti, in quanto sviluppatisi a partire da spunti iniziali diversi, presenteranno analogie insospettate; ed anzi, i grandi teoremi della matematica contemporanea “scoprono” spesso proprio questo, ponti tra edifici lontani, che forse però soltanto sembravano lontani. E forse invece è sempre lo stesso edificio, che contiene tante stanze e tante scale diverse, e la successione di scale per arrivare ad una determinata stanza può benissimo non essere unica, e così l’edificio è anche più bello e interessante.
Le formule, dunque, semplici o complicate, sono un frutto, una forma, della capacità degli esseri umani di descrivere astrattamente e di collegare tra loro le proprie percezioni di quanto avviene nel loro ambiente. Io vorrei ripetere qui quello che ho sempre ripetuto ai miei studenti, che spesso sono stati studenti di materie umanistiche, e dunque poco attrezzati a scriver simboli.
Non le formule sono padrone vostre, ma voi siete padroni delle formule, voi (in questo caso James Clerk Maxwell, 1872) le avete inventate e voi siete in grado, se qualcuno vi fornisce le opportune istruzioni, di capirle, di usarle e di criticarle; la difficoltà può essere solo causata da chi non è capace di fornirvi gli attrezzi giusti, e allora pretendeteli e protestate.
l’argomento mi ha sempre appasionato malgrado le mie scarse competenze in materia. Percio’ mi son ostampato anche gli interventi precedenti cosi’ studio ocn calma
ora volevo sol ochiederti se hai letto un’intervista a un matematico, apparsa la settimana scorsa mi pare sul manifesto
scusa l’ho trovata
* INTERVISTA | di Luca Tomassini
Numeri SENZA LIMITI
Preoccupato per i tagli che rischiano di falcidiare una generazione di studiosi, il grande matematico Isadore M. Singer, che con Michael Atiyah ha formulato il noto teorema dell’indice, consiglia ai giovani di lavorare sodo, «nonostante tutto». Parla lo scienziato americano, in questi giorni a Roma per un convegno
http://www.ilmanifesto.it/il-manifesto/argomenti/numero/20100922/pagina/11/pezzo/287387/
Le questioni poste da Sparzani sono applicabili anche al campo delle lettere. La matematica, come la letteratura e dunque il linguaggio, è una convenzione. Se si perde questa consapevolezza si inizia a credere davvero nelle formule matematiche o linguistiche con cui ci si esprime e si finisce col dimenticare che la realtà – questa realtà – non è l’unica possibile.
Luigi B.
Anche a me il tema ha sempre affascinato molto.
@Luigi B.: “La matematica, come la letteratura e dunque il linguaggio, è una convenzione”: gia’, ma il grado di coerenza della matematica non e’ quello che si riscontra nel mondo e che invece e’ tipico dei linguaggi naturali, credo. Di qui il mistero della matematica. Che qualcosa di cosi’ esatto e formale e logico e coerente debba funzionare, insomma, visto che al di la’ del velo di Maya nessuno ha mai sbirciato.
Il tema sollevato da Sparzani e’ comunque sempre stato molto interessante.
Già
riflettendo sul pensiero di francois julien:
L’universalità [dell’occidente] è conquistata grazie all’operazione tipica della filosofia, quella che l’ha distinta dalla saggezza, cioè l’astrazione; il piano del sensibile e dell’opinione viene così separato da quello della verità e del concetto, altra forma del dualismo fra il corpo e l’anima, fra la materia e lo spirito, che altre civiltà, quella cinese in primis, non hanno conosciuto……….Quando Kant, sulla scia di Aristotele, enumera le categorie che sarebbero identiche sotto tutte le latitudini, rimane in realtà nel solco che la lingua greca ha fatto assumere alle rive del pensiero. La nostra logica è legata all’ontologia: nasce dalla domanda socratica «che cos’è?», interroga il mondo nella prospettiva dell’Essere; quella cinese invece, anche per la struttura della lingua, esprime il flusso, la transizione continua che si propaga.
http://rassegnastampabolano.blogspot.com/2010/09/il-senso-comune-del-dolore-supera-i.html
mi chiedo anzi chiedo a sparzani se non sia in crisi il modello di pensiero occidentale dove “la realtà è sostituita dal suo simulacro” (citazione a memoria fatta da franco farinelli a proposito di braudillard).
mi permetto di chidere cosa pensi delle riflessioni di franco farinelli quando teroizza la crisi della “ragione cartografica” che lui fa coincidere con la crisi dello “stato territoriale moderno”, nato secondo lui con brunelleschi ovvero con l’adozione della prospettiva
http://rassegnastampabolano.blogspot.com/2010/09/il-declino-dello-stato-territoriale.html
Che ne pensa dell’entanglement quantistico?
sparz ho bisogno di una tua consulenza sul problema dell’energia cinetica che si scaricò sulle Torri l’11.09.2011.
puoi (se ti va) mandarmi il tuo indirizzo e-mail qui?
fr.pecoraro@gmail.com
grazie a Carmelo per le letture che mi suggerisce e che vanno certamente oltre il tema di questo post. Su Farinelli dirò quando l’avrò letto.
Mi interessa la risposta di Luigi B., anche se credo si vada troppo in là quando si dice che “la realtà – questa realtà – non è l’unica possibile.” In questo post si parla della descrizione umana della realtà, mutevole e variabile, che in ogni istante ci circonda. Sull’esistenza di altre realtà possibili è a mio parere impossibile pronunciarsi sensatamente, e la stessa locuzione “realtà possibili” è oscura, perché non v’è modo di sapere se e quale altra realtà è “possibile”: non siamo certo capaci con i nostri poveri e limitati strumenti di giudicare neppure della non contraddittorietà di una diversa ipotetica realtà. Ma mi interessa l’applicazione alle lettere, per la quale però occorrerebbe un discorso ad hoc.
A Johnny Doe dico che per parlare dell’entanglement occorre un altro post, e che comunque il discorso qui fatto sull’apparato formale usato dalla fisica vale ovviamente per qualsiasi parte di essa.
grazie sparz della tua pazienza e della tua disponibilità. Ho letto alcune tue recensioni e ho avuto mododi apprezzare il tuo pensiero; l’argomento mi interessava anche perchè in una conferenza (sono dei video contenuti nello stesso blog) farinelli afferma in modo non certo molto chiaro, che oggi, nel momento in cui sono andati in crisi i modelli di pensiero, la letteratura ha molto da dire, insomma puo’ svolgere un ruolo importante.
Ecco io vorrei al di la delle affermazioni, cercare di capire meglio le ragioni e le implicazioni – se fondate – di questa affermazione.
Troppo ignorante per partecipare (ai commenti).Però affascinata.
Domanda: Esiste un libro sulla meccanica quantistica e gli spazi vettoriali che sia ( divulgazione ) comprensibile ai profani?
P.S.Tra l’altro, i segni misteriosi della tabella sopra riportata hanno un intensità grafica particolare.
Thank you, Professor Sparz
Ho letto tutti e tre gli articoli scritti da Lei sull’argomento delle formule matematiche. Ritengo che abbia fatto un’analisi molto intelligente. Penso che le argomentazioni utilizzate siano un valido stimolo a perseverare nello studio della matematica, per chi è ancora alle prime armi o per chi è rassegnato a rinunciarvi. Soprattutto, il riferimento alla musica, che se non erro nell’antica grecia era considerata una vera e propria branca della matematica, fa capire che il formalismo in questione non è poi così arido e privo di anima come molti stupidi luoghi comuni lasciano a intendere.
L’unica cosa su cui mi trovo un po’ in disaccordo è la sua riflessione in merito alle parole di Steiner, fatta nel secondo articolo. Penso che per la scienza oggi il vocabolario sia sì necessario, ma non sufficiente, e che non si tratti tanto di “complesso di inferiorità” quanto di leale riconoscimento dei limiti e dei ruoli di ciascuna disciplina. Mi sono laureato da poco alla triennale di fisica a Roma. In base a quel minimo di esperienza che ho maturato, ho l’impressione che a differenza delle epoche in cui “regnava” ancora la fisica newtoniana, oggi le parole sono fondamentali per descrivere solo una parte della realtà oggettiva che conosciamo; e laddove si possono usare le parole, il linguaggio verbale deve sempre essere accompagnato dal formalismo matematico.
Un modo di elevare il ruolo della letteratura e di evitare le formule a mio avviso ci sarebbe, ma è quello, usato tutt’ora, di coniare nuovi termini e nuove espressioni grammaticali che sintetizzano concetti matematici complessi (gradiente,lagrangiana,sistema gran canonico,prodotto tensoriale,ecc…) Però si tratta solo di parole schematiche che hanno la stessa funzione delle formule. Una letteratura che in maniera estrema si adeguasse a tale sistema, secondo me diventerebbe sterile e altro non sarebbe che un nuovo set di “formule” espresse in un linguaggio diverso: allora tanto vale usare direttamente le formule.
Ritengo che sia più appropriato usare le parole in maniera limitata ma allo stesso tempo elegante, colmando le esigenze di correttezza formale con la matematica, piuttosto che tentare di fare a meno del formalismo rendendo il linguaggio prolisso. Primo perchè la scienza stessa insegna che la soluzione di un problema generico non è una tra le tante possibili, ma quella ottimale, e spesso la capacità di sintesi che ha un passaggio matematico è la via più breve per far arrivare il concetto nella testa di uno studente. Secondo, perchè a mio avviso il ruolo della letteratura in matematica(e in generale nella scienza) ha una rilevanza applicativa soprattutto con l’ ESEMPIO. L’esempio pratico è il modo più diretto ed efficace per sintetizzare mille formule perchè permette una connessione tra astrazione matematica e realtà tangibile. Ma allo stesso tempo l’esempio è limitato perchè è solo funzionale all’apprendimento di una formula, non la può sostituire, serve “solo” da ponte. Terzo, perchè il formalismo ha in sè un potere ineguagliabile: un insieme di simboli può racchiudere in un secondo un’infinità di concetti che scritti a parole ci si può mettere un’ora a capire.
Volendo riferirsi a qualche fatto concreto…
Einstein, nel suo geniale e famoso articolo sulla relatività ristretta, è arrivato all’estremo dell’eleganza letteraria, trovando l’intimo significato fisico delle equazioni di maxwell senza tutto quel formalismo pesante che veniva usato nell’elettromagnetismo. Ma non ha potuto certo fare a meno di scrivere formule, e io non so quanto avrei capito di quell’articolo se non avessi studiato a priori qualche altro formalismo.
Brian greene ha scritto dei libri senza usare nessun simbolo, ma senza studiare la matematica che ne sta alla base, a mio avviso si capisce poco.
Se nella scienza (parlo solo di fisica perchè è il mio punto di vista) è difficile prescindere dalle formule, figuriamoci in matematica. Leggendo un testo di sintesi sui principia mathematica di Bertrand Russel, mi è risultato difficile comprendere la maggior parte dei concetti, che lui ha espresso(essendo stato soprattutto un filosofo) sottoforma letteraria, scrivendo poche formule.
Spero di non aver scritto osservazioni superflue fraintendendo le sue parole.
i miei più cordiali saluti
Diego
Penso che evidenziare il lato convenzionale della matematica, per assimilarla ad altre convenzioni umane, sia profondamente sbagliato in quanto nessuna convenzione risulta più “forzata” dall’esterno di questa: l’arbitrarietà si riduce alla forma dei segni, tutto il resto va incontro immediatamente ad una sanzione (di significatività) la cui origine ontologica rimarrà, credo, sempre oscura.
Chiedo a Sparz: cosa ne pensi de “La strada che porta alla realtà” di Penrose, le cui mille e passa pagine mi minacciano dal comodino?
@diego
le tue argomentazioni sono molto interessanti e richiamano sulla necessità o almeno sull osforzo costante che deve fare la scienza per sottrarre ambiguità al suo discorso.
La letteratura ha un altro compito. vorrei citare una farse di Sergio Pitol (scrittore messicano) che in qualche modo spiega l’uso diverso del linguaggio letterario:
“””Un’altra regola, quella definitiva: mai confondere redazione e scrittura. La redazione non tende a intensificare la vita; la scrittura ha come fine questo compito. La redazione difficilmente permetterà che la parola possegga più di un significato; la parola per la scrittura è per natura polisemica: dice e tace insieme; rivela e nasconde. La redazione è affidabile e prevedibile; la scrittura non lo è mai, gode del delirio, dell’oscurità, del mistero e del disordine, per quanto possa sembrare trasparente. Marguerite Duras: “La scrittura arriva come il vento, è nuda, è l’inchiostro, è lo scritto, e passa come nulla passa nella vita, nulla, eccetto lei, la vita””
gentile Anna Maria, per consigli bibliografici (non facili!) mi scriva all’indirizzo nazioneindiana@gmail.com, che cercherò di pensare qualcosa di sensato. Grazie.
[…] nuova realizzazione, o forse un rovesciamento, della formula di Tommaso. Siamo sempre vicini al tema del funzionamento della matematica, […]
Una domanda che mi è sempre sorta spontanea riguardo la querelle dell’efficacia delle matematiche nella descrizione della realtà:
perchè nemmeno i matematici utilizzano il linguaggio macchina, ma preferiscono le finestre?
perchè i fisici necessitano di visualizzare le loro simulazioni in forma grafica e non in forma simbolica?
perchè quando cerco nell’elenco del telefono, cerco un nome per trovare un numero e non un numero per trovare un nome?
@piergiorgio.
Secondo me fare matematica significa utilizzare dei modelli simbolici per sintetizzare concetti e per formulare inferenze deduttive. L’oggetto della discussione a mio avviso non è se la matematica è efficace o meno nella descrizione della realtà, semmai viceversa si può discutere su che grado di importanza dare al linguaggio nella descrizione matematica. Il linguaggio verbale secondo me è uno strumento fondamentale che deve affiancare la matematica,sia a scopo didattico,sia a scopo pratico perchè da esseri umani noi abbiamo bisogno di interagire con la realtà mediante un linguaggio intuitivo. Questo non significa che le parole debbano rimpiazzare le formule o viceversa, non è una gara tra scienziati e professori di italiano, le varie discipline umane vanno usate insieme se si vuole ampliare la conoscenza. Il punto però è che la necessità di usare le parole deriva soltanto dalla nostra incapacità di ragionare in maniera astratta nella vita di tutti i giorni, mentre la necessità di usare la matematica deriva da un REALE bisogno di descrivere la realtà. Quindi il motivo per cui i fisici usano i grafici invece di usare le formule è semplicemente perchè sono esseri umani e come tutti gli umani la visualizzazione “terra terra” dei risultati è un modo semplice e conveniente per interpretarli; i fisici conoscono la matematica che sta alla base delle loro scoperte e se gli fai vedere un grafico o un diagramma ne capiscono certamente il significato, se invece glie lo fai vedere ad uno che la matematica non l’ha studiata, puoi solo raccontargli un miliardesimo di quello che ci sarebbe da dire.
I filosofi si occupano e si occuperanno sempre meno di affrontare argomenti sulla “materia”, sulla “sostanza” ,sulla “realtà fisica” perchè le parole da sole sono diventate sempre più insufficienti. Concetti come “materia” sono sempre più relativi e astratti. Ad esempio, non hanno neanche più senso concetti come “osservare l’atomo” , “vedere cosa c’è dentro un atomo” , “che forma ha il protone”, la nostra capacità di “vedere” la materia è un pregiudizio.
Senza un formalismo matematico il linguaggio da solo rimane fine a se stesso,non serve a niente. E si può dimostrare che in passato ha agito anche da ostacolo alla conoscenza, creando dei pregiudizi nelle menti di molti scienziati i quali rimasero riluttanti ad accettare la teoria della relatività o la meccanica quantistica. E’ molto pericoloso raccontare SOLO con le parole una realtà che oramai si è appurato funzioni a prescindere dalle parole.
Inoltre,secondo me la matematica è un sinolo di logica e deduzione, usare la logica vuol dire saper schematizzare le cose nella maniera più intelligente possibile,non a casaccio. Quindi chi utilizza il linguaggio macchina invece delle le finestre, chi memorizza i numeri telefonici invece dei nomi, non è uno che fa matematica, ma è uno schizzato,pragmatico ,che non ha capito niente della vita. Fare matematica non significa necessariamente schematizzare tutto e fare tutto in forma di numeri, la matematica è anche arte, bellezza,intuizione, anche la musica è matematica, è qualcosa di molto più acuto ed elevato rispetto alla semplice scrittura schematica, e nelle formule c’è un grado di saggezza e di umanità molto più elevato di quello che noi pensiamo leggendo il semplice simboletto.
@diego
La realta non è mai quella che noi crediamo di vedere essendo la sua rappresentazione condizionata dalle convenzioni, dai pregiudizi e dall’ignoranza, oltre che dalla nostra cultura e dal nostro immaginario.
La realtà poi assume una forma e un senso e, per quanto ne so secondo la teroria quantistica, una sostanza, in rapporto al soggeto che la osserva.
Più che la realtà, in fondo, la specie ummana si sforza di descrivere il suo rapporto con il mondo. E per farlo utilizza il linguaggio dei numeri e il linguaggio dell’arte.
Quindi sarei tentato di dire, nel caso della matematica (e non so se siete d’accordo), che si tratta di un linguaggio che consente la massima astrazione riducendo al minimo il carattere ambiguo e insffuciente delle parole.
Al contrario l’arte utilizza linguaggi che consentono una descrizione del mondo, grazie al loro carattere polisemico, ambiguo, metaforico.